Justifique, usando a definição, que o limite é o número indicado.
lim x 4 2 raizx=4;

Passo 1

Vamos provar que
limxto42raizx=4
usando a definição de limite com varepsilon e de<a. Aqui a ideia é: dado varepsilon>0, encontrar um de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<de<a, tenhamos
l|2raizx-4r|<varepsilon

Passo 2

Começamos manipulando a diferença
l|2raizx-4r| =2l|raizx-2r|
Para explorar a forma raizx-2, usamos a conjugada:
l|raizx-2r| =l|x-4r|raizx+2,
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l|2raizx-4r| =2l|x-4r|raizx+2

Passo 3

Precisamos evitar que o denominador raizx+2 fique muito pequeno. Para isso, restringimos x a um intervalo em torno de 4. Escolhemos, por exemplo, de<a<=1. Se 0<|x-4|<1, então
3<x<5 Longrightarrow raizx> raiz3,
e assim
raizx+2>raiz3+2
Então, sob a condição 0<|x-4|<de<a<=1, temos
l|2raizx-4r| <= 2|x-4|raiz3+2

Passo 4

Para garantir l|2raizx-4r|<varepsilon, basta exigir
2|x-4|raiz3+2<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-4|<varepsilon(raiz3+2)2
Portanto, basta escolher
de<a=minl1,;varepsilon(raiz3+2)2r
Com esse de<a, todas as hipóteses da definição são satisfeitas.

Resposta

Usando de<a=min1,;varepsilon(raiz3+2)/2, garantimos que 0<|x-4|<de<a implica l|2raizx-4r|<varepsilon. Portanto
limxto42raizx=4

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