Justifique, usando a definição, que o limite é o número indicado. ;
Passo 1
Vamos provar que
usando a definição de limite com e . Aqui a ideia é: dado , encontrar um tal que, sempre que , tenhamos
Passo 2
Começamos manipulando a diferença
l|2raizx-4r| =2l|raizx-2r|
Para explorar a forma raizx-2, usamos a conjugada:
l|raizx-2r| =l|x-4r|raizx+2,
logo
l|2raizx-4r| =2l|x-4r|raizx+2
Passo 3
Precisamos evitar que o denominador raizx+2 fique muito pequeno. Para isso, restringimos x a um intervalo em torno de 4. Escolhemos, por exemplo, de<a<=1. Se 0<|x-4|<1, então
3<x<5 Longrightarrow raizx> raiz3,
e assim
raizx+2>raiz3+2
Então, sob a condição 0<|x-4|<de<a<=1, temos
l|2raizx-4r| <= 2|x-4|raiz3+2
Passo 4
Para garantir l|2raizx-4r|<varepsilon, basta exigir