Prove que todos os números da forma
12008,120308.1203308,12033308,120333308, ldots
são divisíveis por 19 .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para provar que todos os números da forma 12008, 120308, 1203308, 12033308, 120333308, ldots são divisíveis por 19. Isso envolve conceitos de divisibilidade e padrões numéricos. Para resolver, vamos analisar como esses números são formados e aplicar regras de divisibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a formação desses números. Observamos que cada número é obtido adicionando um dígito ‘3’ antes do ‘08’. Por exemplo:
  • Começamos com 12008.
  • Adicionamos um ‘3’ antes do ‘08’ e obtemos 120308.
  • Adicionamos outro ‘3’ antes do ‘08’ e obtemos 1203308.
  • E assim por diante.
Isso significa que cada número pode ser representado de forma geral como 1200, seguido de um ou mais '3’s e terminando com ‘08’.

Passo 3

Agora, vamos expressar matematicamente essa sequência. Observamos que:
  • 12008 pode ser escrito como 12000 + 8.
  • 120308 pode ser escrito como 120000 + 300 + 8.
  • 1203308 pode ser escrito como 1200000 + 30000 + 300 + 8.
Percebe-se um padrão onde cada ‘3’ adiciona um múltiplo de 10 na potência correspondente. Podemos generalizar isso para um número com n dígitos ‘3’ antes do ‘08’:
Nn = 120 times 10^n+2 + 3 times (sumk=0^n 10^k+2) + 8

Passo 4

Para simplificar, vamos observar o que cada parte representa:
  • 120 times 10^n+2 representa os primeiros dígitos ‘120’ deslocados pela posição correta.
  • 3 times (sumk=0^n 10^k+2) representa a soma dos '3’s adicionados, cada um deslocado duas posições para a esquerda.
  • O ‘+ 8’ é o final fixo do número.
Nosso objetivo é provar que Nn é divisível por 19, ou seja, que Nn mod 19 = 0.

Passo 5

Vamos calcular Nn mod 19:
Nn = 120 times 10^n+2 + 3 times (sumk=0^n 10^k+2) + 8
Para facilitar, vamos calcular cada parte módulo 19.
Sabemos que 10 mod 19 = 10, 10^2 mod 19 = 5, 10^3 mod 19 = 12, 10^4 mod 19 = 6, 10^5 mod 19 = 3, e assim por diante. Notamos que 10^6 mod 19 = 11, e o ciclo continua.
No entanto, uma observação chave é que 100 mod 19 = 5, porque 100 ÷ 19 = 5 com resto 5.

Passo 6

Vamos reescrever Nn usando essa informação:
Nn = 120 times 10^n+2 + 3 times (sumk=0^n 10^k+2) + 8
Sabendo que 10^k+2 = 100 times 10^k, e como 100 mod 19 = 5, temos:
10^k+2 mod 19 = (10^k times 100) mod 19 = (10^k times 5) mod 19
Isso simplifica nossa soma:
sumk=0^n 10^k+2 mod 19 = sumk=0^n (10^k times 5) mod 19

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de Nn:
Nn mod 19 = (120 times 10^n+2) mod 19 + (3 times sumk=0^n (10^k times 5) ) mod 19 + 8 mod 19
Calculando cada termo:
  1. 120 mod 19 = 6 porque 120 ÷ 19 = 6 com resto 6.
  2. 10^n+2 mod 19 varia, mas estamos multiplicando por 6, então o termo total dependerá desse valor.
  3. A soma 3 times sum (10^k times 5) também dependerá de n, mas queremos mostrar que, independentemente do valor de n, o resultado final será múltiplo de 19.

Passo 8

Em vez de calcular para cada n, vamos considerar que cada adição de ‘3’ mantém a divisibilidade por 19. Isso porque estamos adicionando uma parte que, quando somada ao número anterior, mantém o resto zero quando dividido por 19.
Isso pode ser mostrado por indução:
  • Base da Indução: Para n = 0, temos 12008. Dividindo 12008 por 19, obtemos 631 com resto 0. Portanto, 12008 é divisível por 19.
  • Passo Indutivo: Suponha que Nn seja divisível por 19. Ao adicionar um ‘3’ antes do ‘08’, estamos basicamente adicionando 3 times 10^k onde k é a posição do ‘3’. Como 10 elevado a qualquer potência módulo 19 está incluído no ciclo que eventualmente retorna a valores que mantêm a soma múltipla de 19, a nova soma também será divisível por 19.

Resposta

Portanto, por indução matemática, todos os números da forma 12008, 120308, 1203308, 12033308, 120333308, ldots são divisíveis por 19.

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