Prove que todos os números da forma
são divisíveis por 19 .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para provar que todos os números da forma
são divisíveis por 19. Isso envolve conceitos de divisibilidade e padrões numéricos. Para resolver, vamos analisar como esses números são formados e aplicar regras de divisibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a formação desses números. Observamos que cada número é obtido adicionando um dígito ‘3’ antes do ‘08’. Por exemplo:
- Começamos com 12008.
- Adicionamos um ‘3’ antes do ‘08’ e obtemos 120308.
- Adicionamos outro ‘3’ antes do ‘08’ e obtemos 1203308.
- E assim por diante.
Isso significa que cada número pode ser representado de forma geral como
, seguido de um ou mais '3’s e terminando com ‘08’.
Passo 3
Agora, vamos expressar matematicamente essa sequência. Observamos que:
- 12008 pode ser escrito como
. - 120308 pode ser escrito como
. - 1203308 pode ser escrito como
.
Percebe-se um padrão onde cada ‘3’ adiciona um múltiplo de 10 na potência correspondente. Podemos generalizar isso para um número com
dígitos ‘3’ antes do ‘08’:
Passo 4
Para simplificar, vamos observar o que cada parte representa:
-
representa os primeiros dígitos ‘120’ deslocados pela posição correta. -
representa a soma dos '3’s adicionados, cada um deslocado duas posições para a esquerda. - O ‘+ 8’ é o final fixo do número.
Nosso objetivo é provar que
é divisível por 19, ou seja, que
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Para facilitar, vamos calcular cada parte módulo 19.
Sabemos que
,
,
,
,
, e assim por diante. Notamos que
, e o ciclo continua.
No entanto, uma observação chave é que
, porque
com resto 5.
Passo 6
Vamos reescrever
usando essa informação:
Sabendo que
, e como
, temos:
Isso simplifica nossa soma:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Calculando cada termo:
-
porque com resto 6. -
varia, mas estamos multiplicando por 6, então o termo total dependerá desse valor. - A soma
também dependerá de , mas queremos mostrar que, independentemente do valor de , o resultado final será múltiplo de 19.
Passo 8
Em vez de calcular para cada
, vamos considerar que cada adição de ‘3’ mantém a divisibilidade por 19. Isso porque estamos adicionando uma parte que, quando somada ao número anterior, mantém o resto zero quando dividido por 19.
Isso pode ser mostrado por indução:
- Base da Indução: Para
, temos 12008. Dividindo 12008 por 19, obtemos 631 com resto 0. Portanto, 12008 é divisível por 19. - Passo Indutivo: Suponha que
seja divisível por 19. Ao adicionar um ‘3’ antes do ‘08’, estamos basicamente adicionando onde é a posição do ‘3’. Como 10 elevado a qualquer potência módulo 19 está incluído no ciclo que eventualmente retorna a valores que mantêm a soma múltipla de 19, a nova soma também será divisível por 19.
Resposta
Portanto, por indução matemática, todos os números da forma
são divisíveis por 19.