Justique sua resposta para cada item.
a) ( 0,5 ponto) Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
b) (0,5 ponto) Podemos afirmar que a série
é divergente?
c)
ponto) A série
é absolutamente convergente?
a) ( 0,5 ponto) Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série
b) (0,5 ponto) Podemos afirmar que a série
c)
Passo 1
Enunciado e o que cada item pede, com as informações dadas:
- (a) Temos a série
. Pede-se decidir, usando a definição de sequências de somas parciais, se a série é convergente ou divergente e, se convergente, calcular sua soma. - (b) Temos a série
. A pergunta é: podemos afirmar que essa série é divergente? (ou seja, decidir convergência/divergência e justificar). - (c) Temos a série
. Pede-se decidir se ela é absolutamente convergente e justificar.
As informações importantes: em todos os itens cada termo geral está explícito; as séries têm termos positivos, o que facilita uso de testes de comparação, raiz e telescopia. A resolução deve usar a definição de série como limite das somas parciais quando for pedido explicitamente (item (a)) e testes padrão quando for mais eficiente (itens (b) e (c)).
Passo 2
Resolução do item (a). Primeiro escrevemos o termo geral e fazemos uma decomposição em frações parciais para poder usar somas parciais (telescopia).
- O termo geral é
. Observa-se que , então procuramos constantes e tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
e
é prático substituir valores de
que anulem termos:
- Tomando
obtemos , logo . - Tomando
obtemos , logo .
Portanto a decomposição é
Agora vamos formar a soma parcial e mostrar que ela converge (telescopia).
- Definimos a soma parcial
Usando a decomposição:
Escrevendo alguns termos explicitamente para ver o cancelamento:
Observe que muitos termos se cancelam:
aparece positivo e negativo,
também, e assim por diante. Os termos que não se cancelam são os primeiros positivos
e
e os dois últimos negativos
e
. Portanto
- Pela definição de convergência de série via somas parciais, investigamos o limite de
quando :
Conclusão do item (a): a sequência de somas parciais converge, logo a série converge e sua soma é
.
Observação didática rápida: isso é um exemplo clássico de série telescópica — quando a soma parcial pode ser escrita de forma que muitos termos se cancelem, sobrando poucos termos que têm limite fácil de calcular.
Passo 3
Resolução do item (b). Vou usar o teste da raiz (teste de Cauchy) porque é rápido e direto quando temos termos com potências ou exponenciais.
- Denote
. O teste da raiz analisa o comportamento de
Se
então a série
converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
- Calculemos
:
Sabemos que
(é um fato padrão: raízes de ordem crescente “apagam” potências de
) e
. Logo
Como
, pelo teste da raiz a série
converge absolutamente. Portanto não podemos afirmar que a série é divergente — pelo contrário, ela é convergente (e absolutamente convergente).
Comentário para prova: o termo
cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial
, por isso
é super pequeno e a soma de tais termos converge.
Passo 4
Resolução do item (c). Novamente o teste da raiz é muito adequado aqui porque temos expoente que envolve
.
- Denote
. Os termos são positivos, então absoluta convergência é o mesmo que convergência. - Calculemos
:
Conhecemos o limite clássico
. Assim
Portanto
. Como
, pelo teste da raiz a série
converge absolutamente.
Explicação alternativa (intuição): podemos também escrever
Usando a expansão
com
temos
Logo
com constante
. Como
converge (é geométrica), a série original também converge absolutamente.
Resposta
(a) A série converge e
(b) Não; a série converge (de fato converge absolutamente, pelo teste da raiz).
(c) Sim; a série é absolutamente convergente.
(b) Não; a série
(c) Sim; a série