Justique sua resposta para cada item.
a) ( 0,5 ponto) Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}-1} é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
b) (0,5 ponto) Podemos afirmar que a série \sum_{n=1} \frac{n}{e^{n^{2}}} é divergente?
c) \left(0,5\right. ponto) A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n^{2}} é absolutamente convergente?

Passo 1

Enunciado e o que cada item pede, com as informações dadas:
  • (a) Temos a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}-1}. Pede-se decidir, usando a definição de sequências de somas parciais, se a série é convergente ou divergente e, se convergente, calcular sua soma.
  • (b) Temos a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n^{2}}}. A pergunta é: podemos afirmar que essa série é divergente? (ou seja, decidir convergência/divergência e justificar).
  • (c) Temos a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n^{2}}. Pede-se decidir se ela é absolutamente convergente e justificar.
As informações importantes: em todos os itens cada termo geral está explícito; as séries têm termos positivos, o que facilita uso de testes de comparação, raiz e telescopia. A resolução deve usar a definição de série como limite das somas parciais quando for pedido explicitamente (item (a)) e testes padrão quando for mais eficiente (itens (b) e (c)).

Passo 2

Resolução do item (a). Primeiro escrevemos o termo geral e fazemos uma decomposição em frações parciais para poder usar somas parciais (telescopia).
  • O termo geral é \dfrac{2}{n^{2}-1}. Observa-se que n^{2}-1=(n-1)(n+1), então procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{n^{2}-1}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1) obtemos
2 = A(n+1)+B(n-1).
Para achar A e B é prático substituir valores de n que anulem termos:
  • Tomando n=1 obtemos 2 = 2A, logo A=1.
  • Tomando n=-1 obtemos 2 = -2B, logo B=-1.
    Portanto a decomposição é
\frac{2}{n^{2}-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}.
Agora vamos formar a soma parcial e mostrar que ela converge (telescopia).
  • Definimos a soma parcial S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\frac{2}{n^{2}-1}. Usando a decomposição:
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).
Escrevendo alguns termos explicitamente para ver o cancelamento:
\begin{aligned} S_{N} &= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N+1}\right). \end{aligned}
Observe que muitos termos se cancelam: \frac{1}{3} aparece positivo e negativo, \frac{1}{4} também, e assim por diante. Os termos que não se cancelam são os primeiros positivos \frac{1}{1} e \frac{1}{2} e os dois últimos negativos -\frac{1}{N} e -\frac{1}{N+1}. Portanto
S_{N} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}.
  • Pela definição de convergência de série via somas parciais, investigamos o limite de S_{N} quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_{N} = 1+\frac{1}{2}-0-0 = \frac{3}{2}.
Conclusão do item (a): a sequência de somas parciais converge, logo a série converge e sua soma é \dfrac{3}{2}.
Observação didática rápida: isso é um exemplo clássico de série telescópica — quando a soma parcial pode ser escrita de forma que muitos termos se cancelem, sobrando poucos termos que têm limite fácil de calcular.

Passo 3

Resolução do item (b). Vou usar o teste da raiz (teste de Cauchy) porque é rápido e direto quando temos termos com potências ou exponenciais.
  • Denote a_{n}=\dfrac{n}{e^{n^{2}}}=n e^{-n^{2}}. O teste da raiz analisa o comportamento de
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}.
Se L<1 então a série \sum a_{n} converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Calculemos \sqrt[n]{a_{n}}:
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{n}\;\sqrt[n]{e^{-n^{2}}} = n^{1/n}\; e^{-n^{2}/n}= n^{1/n}\; e^{-n}.
Sabemos que \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1 (é um fato padrão: raízes de ordem crescente “apagam” potências de n) e \lim_{n\to\infty} e^{-n}=0. Logo
L=\lim_{n\to\infty} n^{1/n} e^{-n} = 1\cdot 0 = 0.
Como L=0<1, pelo teste da raiz a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{e^{n^{2}}} converge absolutamente. Portanto não podemos afirmar que a série é divergente — pelo contrário, ela é convergente (e absolutamente convergente).
Comentário para prova: o termo e^{n^{2}} cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial n^{k}, por isso n/e^{n^{2}} é super pequeno e a soma de tais termos converge.

Passo 4

Resolução do item (c). Novamente o teste da raiz é muito adequado aqui porque temos expoente que envolve n.
  • Denote a_{n}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{-n^{2}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}}. Os termos são positivos, então absoluta convergência é o mesmo que convergência.
  • Calculemos \sqrt[n]{a_{n}}:
\sqrt[n]{a_{n}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}/n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}.
Conhecemos o limite clássico \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e. Assim
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} = e^{-1}.
Portanto L=e^{-1}. Como e^{-1}<1, pelo teste da raiz a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{-n^{2}} converge absolutamente.
Explicação alternativa (intuição): podemos também escrever
\ln a_{n} = -n^{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Usando a expansão \ln(1+x)=x-\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3}) com x=\tfrac{1}{n} temos
\ln a_{n} = -n^{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right) = -n + \frac{1}{2} + O\!\left(\frac{1}{n}\right).
Logo a_{n}=e^{-n+1/2+o(1)}\sim C e^{-n} com constante C=e^{1/2}. Como \sum e^{-n} converge (é geométrica), a série original também converge absolutamente.

Resposta

(a) A série converge e \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-1}=\frac{3}{2}.
(b) Não; a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n^{2}}} converge (de fato converge absolutamente, pelo teste da raiz).
(c) Sim; a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n^{2}} é absolutamente convergente.

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