Explicando rapidamente: a_0 é a média (termo constante), a_n são os coeficientes das cossenos (termos pares) e b_n os das senos (termos ímpares). Vamos calcular cada um para f(x)=3x.
Passo 3
Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 3x\,dx.
Observe que 3x é função ímpar porque 3(-x)=-3x. A integral de uma função ímpar em intervalo simétrico é zero. Portanto
Definimos I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx e vamos calcular I_n.
Passo 6
Cálculo de I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=\sin(nx)\,dx (então v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}).
Fórmula de integração por partes: \int u\,dv = uv - \int v\,du. Assim
válido para x\in(-\pi,\pi) (e com convergência para a média nos pontos de descontinuidade dos extensões periódicas, não aplicável aqui porque 3x é contínua no intervalo aberto).