(1,0 ponto) Encontre a série de Fourier da função definida por f(x)=3 x. no intervalo [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função f(x)=3x no intervalo [-\pi,\pi]. Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função é f(x)=3x definida em [-\pi,\pi].
  • Espera-se a expansão em série de Fourier (a extensão 2\pi-periódica de f).
  • Resultado final: a expressão da série de Fourier (coeficientes e soma em série).

Passo 2

Fórmulas padrão para os coeficientes da série de Fourier de uma função 2\pi-periódica definida em [-\pi,\pi]:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad\text{para }n\ge1
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad\text{para }n\ge1
A série de Fourier então é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
Explicando rapidamente: a_0 é a média (termo constante), a_n são os coeficientes das cossenos (termos pares) e b_n os das senos (termos ímpares). Vamos calcular cada um para f(x)=3x.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 3x\,dx.
Observe que 3x é função ímpar porque 3(-x)=-3x. A integral de uma função ímpar em intervalo simétrico é zero. Portanto
a_0=0.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 3x\cos(nx)\,dx.
Aqui x é ímpar e \cos(nx) é par, então o produto x\cos(nx) é ímpar. A integral de uma função ímpar em [-\pi,\pi] é zero. Assim
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 3x\sin(nx)\,dx.
Agora x é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, logo o produto é uma função par. Podemos usar a simetria para reduzir a integral:
b_n=\frac{3}{\pi}\cdot 2\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx=\frac{6}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Definimos I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx e vamos calcular I_n.

Passo 6

Cálculo de I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=\sin(nx)\,dx (então v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}).
Fórmula de integração por partes: \int u\,dv = uv - \int v\,du. Assim
I_n = \left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Agora avalio os termos separadamente. O termo de fronteira:
\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} - 0 = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
A integral restante:
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} = \frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}=0.
Portanto
I_n = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
Lembrando que \cos(n\pi)=(-1)^n, temos
I_n = -\frac{\pi(-1)^n}{n}.

Passo 7

Volto para b_n. Substituindo I_n em b_n=\dfrac{6}{\pi}I_n:
b_n=\frac{6}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = -\frac{6(-1)^n}{n}.
Podemos reescrever o sinal como
b_n=\frac{6(-1)^{\,n+1}}{n}.
Portanto todos os a_n são zero e os b_n são os acima.

Passo 8

Escrevendo a série de Fourier usando só os termos de seno (já que a_0=0 e a_n=0):
f(x)=3x \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6(-1)^{\,n+1}}{n}\sin(nx).
Podemos factorar o 6:
3x \sim 6\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n+1}\frac{\sin(nx)}{n},
válido para x\in(-\pi,\pi) (e com convergência para a média nos pontos de descontinuidade dos extensões periódicas, não aplicável aqui porque 3x é contínua no intervalo aberto).

Resposta

3x \sim 6\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n+1}\frac{\sin(nx)}{n}

Exercícios relacionados