( 1,0 ponto) Determine o raio e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-2)^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 2
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot 3^{n}}(x-2)^{n}.
Informações dadas importantes:
a_n=\frac{1}{n\cdot 3^{n}}
são os coeficientes da série em torno de x=2. Preciso encontrar R (raio) e o conjunto de x para os quais a série converge (intervalo de convergência), testando também os pontos extremos x=2\pm R.

Passo 2

Escolha do método: para achar o raio R de uma série de potências é prático usar o Teste da Razão ou a fórmula com \limsup das raízes:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui os coeficientes são simples, então aplicamos o Teste da Razão para os coeficientes a_n (que dá o mesmo resultado). Vou explicar o Teste da Razão: se para uma série de potências com coeficientes a_n existir
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então R=1/L (quando o limite existe).

Passo 3

Calcular a razão dos coeficientes:
a_n=\frac{1}{n\cdot 3^{n}},\qquad a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\cdot 3^{n+1}}.
Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\dfrac{1}{(n+1)\,3^{n+1}}}{\dfrac{1}{n\,3^{n}}} =\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{3}.
Agora o limite quando n\to\infty é
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\right)\cdot\frac{1}{3} =1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Como o limite da razão dos coeficientes é 1/3, o raio de convergência é
R=\frac{1}{1/3}=3.
Interpretação: a série converge para x tais que |x-2|<3, ou seja, no intervalo aberto
(2-3,\;2+3)=(-1,5).

Passo 5

Agora testar os pontos finais. Primeiro x=-1 (que vem de 2-3). Substituindo x=-1 obtemos x-2=-3 e os termos ficam
\frac{1}{n\cdot 3^{n}}(-3)^{n}=\frac{1}{n}\,(-1)^{n}.
Portanto a série em x=-1 é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Esta é a série harmônica alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada (Leibniz): se os termos em módulo b_n=\tfrac{1}{n} são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a 0, então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=\tfrac{1}{n} decresce e tende a 0, logo a série converge. Note que não é absoluta: \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n diverge (série harmônica), então a convergência em x=-1 é condicional.

Passo 6

Agora x=5 (que vem de 2+3). Substituindo x=5 obtemos x-2=3 e os termos são
\frac{1}{n\cdot 3^{n}}(3)^{n}=\frac{1}{n}.
Logo a série em x=5 é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica conhecida por divergir. Portanto a série diverge em x=5.

Passo 7

Conclusão dos testes: dentro do raio |x-2|<3 a série converge; em x=-1 converge condicionalmente; em x=5 diverge. Assim o intervalo de convergência (considerando inclusão/exclusão dos extremos) é [-1,5).

Resposta

Raio de convergência: 3
Intervalo de convergência: [-1,5)

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