são os coeficientes da série em torno de x=2. Preciso encontrar R (raio) e o conjunto de x para os quais a série converge (intervalo de convergência), testando também os pontos extremos x=2\pm R.
Passo 2
Escolha do método: para achar o raio R de uma série de potências é prático usar o Teste da Razão ou a fórmula com \limsup das raízes:
Aqui os coeficientes são simples, então aplicamos o Teste da Razão para os coeficientes a_n (que dá o mesmo resultado). Vou explicar o Teste da Razão: se para uma série de potências com coeficientes a_n existir
Esta é a série harmônica alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada (Leibniz): se os termos em módulo b_n=\tfrac{1}{n} são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a 0, então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=\tfrac{1}{n} decresce e tende a 0, logo a série converge. Note que não é absoluta: \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n diverge (série harmônica), então a convergência em x=-1 é condicional.
Passo 6
Agora x=5 (que vem de 2+3). Substituindo x=5 obtemos x-2=3 e os termos são
\frac{1}{n\cdot 3^{n}}(3)^{n}=\frac{1}{n}.
Logo a série em x=5 é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica conhecida por divergir. Portanto a série diverge em x=5.
Passo 7
Conclusão dos testes: dentro do raio |x-2|<3 a série converge; em x=-1 converge condicionalmente; em x=5 diverge. Assim o intervalo de convergência (considerando inclusão/exclusão dos extremos) é [-1,5).
Resposta
Raio de convergência: 3
Intervalo de convergência: [-1,5)