- Seja
o subconjunto de
constituído pelos polinômios
(b) Qual é o polinômio que nesta base tem coordenadas
?
Passo 1
O enunciado dá a base
do espaço
com os polinômios (peguei estes polinômios do enunciado):
Pede-se: qual é o polinômio que, nesta base
, tem coordenadas
? Em outras palavras, qual é o polinômio
tal que as componentes na base
são
para
,
para
e
para
.
Passo 2
Explicando o que significa "ter coordenadas
na base
" (aula curtinha): isso quer dizer que o polinômio procurado é a combinação linear
Aqui cada número na tupla é o coeficiente que multiplica o polinômio correspondente da base.
Passo 3
Substituo os polinômios
na expressão acima (estou usando os polinômios que peguei do enunciado):
Passo 4
Agora eu distribuo (faço as multiplicações escalares em cada termo) para expandir:
Passo 5
Agrupo termos semelhantes (constantes com constantes, termos em
com termos em
, etc.) e somo coeficientes:
constante: .
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
Portanto
constante:
coeficiente de
coeficiente de
Portanto
Passo 6
Pequena checagem mental (para ganhar confiança): revertendo,
pode ser escrito como
, então realmente tem coordenadas
na base
.