1. Seja B=\{P(x), Q(x), R(x)\} o subconjunto de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) constituído pelos polinômios
P(x)=1+x, Q(x)=1+2 x, R(x)=x^{2}
(b) Qual é o polinômio que nesta base tem coordenadas (1,3,-2) ?

Passo 1

O enunciado dá a base B=\{P(x),Q(x),R(x)\} do espaço \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) com os polinômios (peguei estes polinômios do enunciado):
P(x)=1+x,\qquad Q(x)=1+2x,\qquad R(x)=x^2.
Pede-se: qual é o polinômio que, nesta base B, tem coordenadas (1,3,-2)? Em outras palavras, qual é o polinômio p(x) tal que as componentes na base B são 1 para P, 3 para Q e -2 para R.

Passo 2

Explicando o que significa "ter coordenadas (1,3,-2) na base B" (aula curtinha): isso quer dizer que o polinômio procurado é a combinação linear
p(x)=1\cdot P(x)+3\cdot Q(x)+(-2)\cdot R(x).
Aqui cada número na tupla é o coeficiente que multiplica o polinômio correspondente da base.

Passo 3

Substituo os polinômios P(x),Q(x),R(x) na expressão acima (estou usando os polinômios que peguei do enunciado):
p(x)=1\cdot(1+x)+3\cdot(1+2x)+(-2)\cdot x^{2}.

Passo 4

Agora eu distribuo (faço as multiplicações escalares em cada termo) para expandir:
1\cdot(1+x)=1+x, \qquad 3\cdot(1+2x)=3+6x, \qquad (-2)\cdot x^{2}=-2x^{2}.

Passo 5

Agrupo termos semelhantes (constantes com constantes, termos em x com termos em x, etc.) e somo coeficientes:
constante: 1+3=4.
coeficiente de x: 1x+6x=7x.
coeficiente de x^{2}: -2x^{2}.
Portanto
p(x)=-2x^{2}+7x+4.

Passo 6

Pequena checagem mental (para ganhar confiança): revertendo, -2x^{2}+7x+4 pode ser escrito como 1\cdot(1+x)+3\cdot(1+2x)-2\cdot x^{2}, então realmente tem coordenadas (1,3,-2) na base B.

Resposta

-2x^{2}+7x+4

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