5- Kesolva as equações separáveis:
\left{ \begin{array}{c}x^{2} y^{\prime}=y-x y \\ y(-1)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}\,\frac{dy}{dx}=y - x\,y
com condição inicial y(-1)=-1. Trata-se de uma equação separável.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y - x\,y}{x^{2}}=y\,\frac{1 - x}{x^{2}}
e separamos as variáveis:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1 - x}{x^{2}}\,dx=\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\Bigr)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert y\rvert=-\frac{1}{x}-\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 4

Elevamos exponencial e simplificamos:
\lvert y\rvert=e^{C}\,e^{-1/x}\,e^{-\ln\lvert x\rvert} =K\,\frac{e^{-1/x}}{\lvert x\rvert}.
Como no ponto x=-1 temos x<0, absorvemos o sinal de \lvert x\rvert em K e escrevemos
y=K\,\frac{e^{-1/x}}{x}.

Passo 5

Aplicamos y(-1)=-1:
-1=y(-1)=K\,\frac{e^{-1/(-1)}}{-1}=-K\,e \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{1}{e}.
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y(x)=\frac{1}{e}\,\frac{e^{-1/x}}{x}=\frac{e^{-1/x-1}}{x}.

Resposta

y(x)=\frac{e^{-1/x-1}}{x}.

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