Se
, como fica a resolução do sistema
?
Passo 1
Beleza, temos o seguinte: queremos resolver o sistema
sabendo que fizemos uma fatoração de
do tipo
onde
-
é matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, -
é matriz diagonal, -
é matriz triangular superior com 1’s na diagonal.
O conteúdo é Álgebra Linear – resolução de sistemas pelo método de substituição em matrizes triangulares. Vamos precisar usar:
- Substituição direta (forward) em
, - divisão por elementos da diagonal de
, - Substituição reversa (backward) em
.
Passo 2
Escrevemos
Para não fazer tudo junto, definimos variáveis intermediárias:
-
tal que , -
tal que , - por fim
.
Assim o problema se quebra em três sistemas mais simples, cada um aproveitando a “forma triangular” ou a diagonal de cada fator.
Passo 3
Resolvemos
por “forward substitution”. Se
e
,
, temos para cada
:
Explico: na linha
de
só aparecem
, já que
é inferior. Primeiro acha
, depois
, e assim por diante.
Passo 4
Agora resolvemos
Como
é diagonal, basta dividir cada componente:
Simples: pega o
-ésimo valor de
e divide pelo
-ésimo elemento da diagonal de
.
Passo 5
Última etapa:
com
triangular superior. Fazemos “backward substitution” começando de
até
:
pois
tem 1’s na diagonal. Isso dá
, depois
, etc.
Resposta
O procedimento completo é:
- Calcular
por (forward), - calcular
por , - calcular
por (backward).
Em notação compacta,