Se A=L D barU, como fica a resolução do sistema A x=b?

Passo 1

Beleza, temos o seguinte: queremos resolver o sistema
A x = b
sabendo que fizemos uma fatoração de A = L,D,bar U, do tipo
onde
  • é matriz triangular inferior com 1’s na diagonal,
  • é matriz diagonal,
  • é matriz triangular superior com 1’s na diagonal.
O conteúdo é Álgebra Linear – resolução de sistemas pelo método de substituição em matrizes triangulares. Vamos precisar usar:
  1. Substituição direta (forward) em ,
  2. divisão por elementos da diagonal de ,
  3. Substituição reversa (backward) em .

Passo 2

Escrevemos
L,D,bar U,x = b
Para não fazer tudo junto, definimos variáveis intermediárias:
  1. tal que ,
  2. tal que ,
  3. por fim .
Assim o problema se quebra em três sistemas mais simples, cada um aproveitando a “forma triangular” ou a diagonal de cada fator.

Passo 3

Resolvemos
L,u = b
por “forward substitution”. Se ui ;=; bi ;-;sumj=1^i-1 Lij,uj e , , temos para cada :
Explico: na linha de só aparecem , já que é inferior. Primeiro acha , depois , e assim por diante.

Passo 4

Agora resolvemos
D,v = u
Como vi = uiDii é diagonal, basta dividir cada componente:
Simples: pega o -ésimo valor de e divide pelo -ésimo elemento da diagonal de .

Passo 5

Última etapa:
bar U,x = v
com xi ;=; vi ;-;sumj=i+1^n bar Uij,xj, triangular superior. Fazemos “backward substitution” começando de até :
pois tem 1’s na diagonal. Isso dá , depois , etc.

Resposta

O procedimento completo é:
  1. Calcular x = bar U^-1,D^-1,L^-1,b por (forward),
  2. calcular por ,
  3. calcular por (backward).
Em notação compacta,

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