Seja A uma matriz n times n qualquer. Mostre que se A é matriz não singular (det(A) neq 0) e A admite decomposição L U, A=L U, então A admite uma decomposição da forma A=L D barU, onde D é matriz diagonal e barU matriz triangular superior com diagonal unitária.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma matriz quadrada A ;=; L,D,bar U de tamanho , não singular ( ), e sabemos que ela já admite uma decomposição com triangular inferior e triangular superior. Mostre que dá pra refinar isso e escrever
onde é diagonal e é triangular superior com todos os 1 na diagonal.”
Isso é sobre fatoração de matrizes (mais especificamente modo de ajustar escalas), e o que a gente vai precisar é:
  1. Entender que não singular implica que e são invertíveis.
  2. Saber que uma matriz triangular invertível tem diagonal não nula.
  3. Usar isso pra “extrair” a diagonal de e recolocar em .

Passo 2

Primeiro, se e , então é invertível. Aí vale o seguinte para matrizes triangulares:
  • Uma matriz triangular (inferior ou superior) é invertível se, e somente se, todos os elementos da sua diagonal principal são diferentes de zero.
    Como é triangular inferior e é triangular superior, a inversibilidade de força e .
    Logo, cada entrada diagonal de , digamos , é ≠0.

Passo 3

Agora que a gente sabe que os são não nulos, dá pra “fatorar” em duas partes:
  • , uma matriz diagonal.
  • .
Note que é só a diagonal com . Ao multiplicar , você pega cada linha de e divide tudo por . Isso faz com que na nova matriz :
  1. Ela segue triangular superior, porque multiplicar por diagonal não bagunça zeros fora da diagonal.
  2. Seus elementos diagonal fiquem .
Portanto é triangular superior com diagonal unitária.

Passo 4

Basta juntar:
A ;=; L,U ;=; L,(D,bar U) ;=; (L,D),bar U
Se você quiser chamar A = L,D,bar U, de “mesmo” ou redefinir, a forma pedida é
com diagonal e triangular superior com 1 na diagonal.

Resposta

A decomposição existe definindo e . Daí , com diagonal e triangular superior de diagonal unitária.

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