Seja
uma matriz
qualquer. Mostre que se
é matriz não singular
e
admite decomposição
,
, então
admite uma decomposição da forma
, onde
é matriz diagonal e
matriz triangular superior com diagonal unitária.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos uma matriz quadrada
de tamanho
, não singular (
), e sabemos que ela já admite uma decomposição
com
triangular inferior e
triangular superior. Mostre que dá pra refinar isso e escrever
onde
é diagonal e
é triangular superior com todos os 1 na diagonal.”
Isso é sobre fatoração de matrizes (mais especificamente modo de ajustar escalas), e o que a gente vai precisar é:
Isso é sobre fatoração de matrizes (mais especificamente modo de ajustar escalas), e o que a gente vai precisar é:
- Entender que não singular implica que
e são invertíveis. - Saber que uma matriz triangular invertível tem diagonal não nula.
- Usar isso pra “extrair” a diagonal de
e recolocar em .
Passo 2
Primeiro, se
e
, então
é invertível. Aí vale o seguinte para matrizes triangulares:
- Uma matriz triangular (inferior ou superior) é invertível se, e somente se, todos os elementos da sua diagonal principal são diferentes de zero.
Comoé triangular inferior e é triangular superior, a inversibilidade de força e .
Logo, cada entrada diagonal de, digamos , é ≠0.
Passo 3
Agora que a gente sabe que os
são não nulos, dá pra “fatorar”
em duas partes:
- , uma matriz diagonal.
-
.
Note que
é só a diagonal com
. Ao multiplicar
, você pega cada linha
de
e divide tudo por
. Isso faz com que na nova matriz
:
- Ela segue triangular superior, porque multiplicar por diagonal não bagunça zeros fora da diagonal.
- Seus elementos diagonal fiquem
.
Portanto
é triangular superior com diagonal unitária.
Passo 4
Basta juntar:
Se você quiser chamar
de “mesmo” ou redefinir, a forma pedida é
com
diagonal e
triangular superior com 1 na diagonal.
Resposta
A decomposição existe definindo e
. Daí
, com
diagonal e
triangular superior de diagonal unitária.