Considere o sistema linear , onde é uma matriz e vetores colunas . Verifique calculando os menores principais de se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema a partir da decomposição LU sabendo que
A=[lll0 & 4 & 5 4 & 3 & 6 5 & 6 & 4]
Passo 1
Beleza, aqui é um exercício de Álgebra Linear sobre decomposição LU. A ideia é:
Verificar se a matriz
A = 0 & 4 & 5 4 & 3 & 6 5 & 6 & 4
admite uma fatoração sem trocar linhas — para isso usamos o critério dos menores principais (determinantes dos sub-blocos superiores).
2) Se der certo, a gente encontraria e e resolveria via (substituição para frente) e depois (substituição para trás).
Passo 2
Teoria rápida:
Uma matriz quadrada admite decomposição LU sem permutação de linhas se, e só se, todos os “menores principais” (determinantes dos D1 = detl([a11]r), D2 = det!a11&a12a21&a22, D3 = det(A) blocos no canto superior esquerdo) forem diferentes de zero. Esses menores principais são:
Passo 3
Calculando o primeiro menor principal:
D1 = a11 = 0
Pronto: já deu ruim, porque tem que ser não nulo para gente poder iniciar a eliminação sem precisar trocar linhas.
Passo 4
Quando , a fatoração LU sem permutar linhas não existe. Não adianta nem calcular e : o critério já falhou no passo 1.
Resposta
A matriz não admite decomposição sem permutação de linhas, pois o primeiro menor principal anula o processo de eliminação direta. Portanto não podemos resolver por uma simples fatoração neste caso.