Considere o sistema linear A x=b, onde A é uma matriz n times n, x e b vetores colunas n times 1. Verifique calculando os menores principais de A se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema A x=b a partir da decomposição LU sabendo que
b=[l 1 2 3 ] para os itens (i) a (v) e b=[l 1 2 3 4 ] para o item (vi)
A=[lll0 & 4 & 5 4 & 3 & 6 5 & 6 & 4]

Passo 1

Beleza, aqui é um exercício de Álgebra Linear sobre decomposição LU. A ideia é:
  1. Verificar se a matriz
A = 0 & 4 & 5 4 & 3 & 6 5 & 6 & 4
admite uma fatoração sem trocar linhas — para isso usamos o critério dos menores principais (determinantes dos sub-blocos superiores).
2) Se der certo, a gente encontraria e e resolveria via (substituição para frente) e depois (substituição para trás).

Passo 2

Teoria rápida:
Uma matriz quadrada admite decomposição LU sem permutação de linhas se, e só se, todos os “menores principais” (determinantes dos D1 = detl([a11]r), D2 = det!a11&a12a21&a22, D3 = det(A) blocos no canto superior esquerdo) forem diferentes de zero. Esses menores principais são:

Passo 3

Calculando o primeiro menor principal:
D1 = a11 = 0
Pronto: já deu ruim, porque tem que ser não nulo para gente poder iniciar a eliminação sem precisar trocar linhas.

Passo 4

Quando , a fatoração LU sem permutar linhas não existe. Não adianta nem calcular e : o critério já falhou no passo 1.

Resposta

A matriz não admite decomposição sem permutação de linhas, pois o primeiro menor principal anula o processo de eliminação direta. Portanto não podemos resolver por uma simples fatoração neste caso.

Exercícios relacionados