Das L-fórmulas seguintes, determine quais são substituições de outras L-fórmulas e escreva as respectivas substituições.
((((p q) wed>=(r s)) wed>=(p vee r)) (q vee s)).

Passo 1

Temos a fórmula complexa
(((p q) wed>= (r s)) wed>= (p vee r)) (q vee s)
do cálculo proposicional da L. O que vamos precisar é identificar a estrutura externa e depois ver como cada pedaço é instância de esquemas mais simples, exibindo as substituições.

Passo 2

A estrutura externa é de uma implicação cujo antecedente é uma conjunção dupla. Ou seja, vemos algo equivalente ao esquema
(X wed>= Y) Z
para algum X, Y e Z. Definimos a primeira substituição sigma1 como:
sigma1(X)=((p q) wed>= (r s)), sigma1(Y)=(p vee r), sigma1(Z)=(q vee s)
Aplicando sigma1 ao esquema em bloco
(X wed>= Y) Z
nos dá exatamente a fórmula original.

Passo 3

O subfórmula (p q) wed>= (r s) é por sua vez uma conjunção simples, instância do esquema
U wed>= V.
Definimos a substituição sigma2 por
$$\sigma_2(U)=(p \rightarrow q),\quad \sigma_2(V)=(r \rightarrow s).
$$
Aplicando sigma2(U)=(p q), sigma2(V)=(r s) ao esquema sigma2 obtemos U wed>= V.

Passo 4

Cada implicação simples p q e r s é instância do esquema
A B
com substituições:
$$\sigma_3(A)=p,;\sigma_3(B)=q;
\quad
\sigma_4(A)=r,;\sigma_4(B)=s.
$$

Passo 5

As disjunções p vee r e q vee s são instâncias do esquema
C vee D
com substituições:
$$\sigma_5©=p,;\sigma_5(D)=r;
\quad
\sigma_6©=q,;\sigma_6(D)=s.
$$

Resposta

As substituições são:
  1. Para o esquema (X wed>= Y) Z:
    sigma1(X)=((p q) wed>= (r s)),;sigma1(Y)=(p vee r),;sigma1(Z)=(q vee s).
  2. Para U wed>= V:
    sigma2(U)=(p q),;sigma2(V)=(r s).
  3. Para A B:
    sigma3(A)=p,;sigma3(B)=q e sigma4(A)=r,;sigma4(B)=s.
  4. Para C vee D:
    sigma5(C)=p,;sigma5(D)=r e sigma6(C)=q,;sigma6(D)=s.

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