Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção:
y1(t)=e^t / 2 e
y2(t)=e^-t
Escolha uma opção:
Passo 1
O problema pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e verificar se o par dado
y1(t)=e^t/2 e
y2(t)=e^-t é esse conjunto. Vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Para resolver
y''-y=0 montamos o polinômio característico
cuja solução é
r=1 ou
r=-1 . Então a solução geral da EDO é
Isso mostra que um conjunto fundamental de soluções é
e^t, e^-t .
Passo 3
Agora testamos as funções propostas na equação original. Para
y1(t)=e^t/2 temos
logo
Isso mostra que
y1 NÃO satisfaz a EDO. Já para
y2(t)=e^-t
então
y2 satisfaz a EDO, mas o par falha porque
y1 não é solução.
Passo 4
Como um dos dois não satisfaz a EDO, o par
e^t/2,e^-t não forma um conjunto fundamental de soluções de
y''-y=0 .
Resposta
O par proposto não forma um conjunto fundamental de soluções para a EDO.