l y^prime prime-y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção:
y1(t)=e^t / 2 e y2(t)=e^-t

Passo 1

O problema pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y=0
e verificar se o par dado y1(t)=e^t/2 e y2(t)=e^-t é esse conjunto. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Para resolver y''-y=0 montamos o polinômio característico
r^2 - 1 = 0
cuja solução é r=1 ou r=-1. Então a solução geral da EDO é
y(t)=C1e^t + C2e^-t
Isso mostra que um conjunto fundamental de soluções é e^t, e^-t.

Passo 3

Agora testamos as funções propostas na equação original. Para y1(t)=e^t/2 temos
y1'(t)=tfrac12e^t/2,
y1''(t)=tfrac14e^t/2,
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y1''(t)-y1(t)=l(tfrac14 -1r)e^t/2=-tfrac34e^t/2neq0
Isso mostra que y1 NÃO satisfaz a EDO. Já para y2(t)=e^-t
y2'(t)=-e^-t,
y2''(t)=e^-t,
y2''(t)-y2(t)=0,
então y2 satisfaz a EDO, mas o par falha porque y1 não é solução.

Passo 4

Como um dos dois não satisfaz a EDO, o par e^t/2,e^-t não forma um conjunto fundamental de soluções de y''-y=0.

Resposta

O par proposto não forma um conjunto fundamental de soluções para a EDO.

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