1 (2 pontos) Calcule
, onde
consiste na metade superior da circunferência
de
a
e no segmento de reta de
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é composta por duas partes: a metade superior da circunferência e um segmento de reta. O enunciado fornece os pontos
e
como extremos da metade superior da circunferência, portanto vou interpretar a circunferência como
(raio
), pois assim
e
pertencem a ela. A curva
é, então:
-
: arco da circunferência na metade superior, indo de até ; -
: segmento de reta de a .
Queremos calcular
Passo 2
Estratégia: parametrizar cada parte
e
, substituir na forma diferencial
usando
e
em termos do parâmetro, e integrar. Esse método é direto e seguro em prova.
Passo 3
Parametrização do arco
(metade superior da circunferência de raio
):
Calculemos
e
:
Substituindo na integranda:
Portanto
Simplificando:
Passo 4
Integrando sobre
:
Agora calculamos
e
. Use a substituição
para a integral de
:
fazendo
(então
, e quando
temos
, quando
temos
):
De forma análoga (ou por simetria
no intervalo
),
Portanto
Ou seja, a contribuição do arco é
. (Intuição razoável: as partes em
e
se anularam sobre esse intervalo.)
Passo 5
Parametrização do segmento
de
a
. Uma parametrização linear conveniente é, para
,
Então
Substituímos na integranda:
Expanda
:
logo a soma é
Assim
Passo 6
Calcule a integral do polinômio:
Some os termos:
Portanto a contribuição do segmento é
.
Passo 7
Somando as contribuições de
e
: