1 (2 pontos) Calcule \int_{C} x^{2} \mathrm{~d} y+y^{2} \mathrm{~d} x, onde C consiste na metade superior da circunferência x^{2}+y^{2}=1 de (2.0) a (0,2) e no segmento de reta de (0,2) a (1,3).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx
onde C é composta por duas partes: a metade superior da circunferência e um segmento de reta. O enunciado fornece os pontos (2,0) e (0,2) como extremos da metade superior da circunferência, portanto vou interpretar a circunferência como
x^{2}+y^{2}=4
(raio 2), pois assim (2,0) e (0,2) pertencem a ela. A curva C é, então:
  • C_1: arco da circunferência x^{2}+y^{2}=4 na metade superior, indo de (2,0) até (0,2);
  • C_2: segmento de reta de (0,2) a (1,3).
Queremos calcular
\int_{C} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = \int_{C_{1}} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx \;+\; \int_{C_{2}} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx.

Passo 2

Estratégia: parametrizar cada parte C_1 e C_2, substituir na forma diferencial x^{2}\,dy + y^{2}\,dx usando dx e dy em termos do parâmetro, e integrar. Esse método é direto e seguro em prova.

Passo 3

Parametrização do arco C_1 (metade superior da circunferência de raio 2):
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Calculemos dx e dy:
dx = x'(t)\,dt = -2\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = 2\cos t\,dt.
Substituindo na integranda:
x^{2} = (2\cos t)^{2} = 4\cos^{2}t,\qquad y^{2} = (2\sin t)^{2} = 4\sin^{2}t.
Portanto
x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = 4\cos^{2}t\cdot(2\cos t\,dt) + 4\sin^{2}t\cdot(-2\sin t\,dt).
Simplificando:
x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = 8\cos^{3}t\,dt - 8\sin^{3}t\,dt = 8\bigl(\cos^{3}t - \sin^{3}t\bigr)\,dt.

Passo 4

Integrando sobre t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]:
\int_{C_{1}} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = 8\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\cos^{3}t - \sin^{3}t\bigr)\,dt.
Agora calculamos \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}t\,dt e \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt. Use a substituição u=\sin t para a integral de \cos^{3}t:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}t\,dt=\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,(1-\sin^{2}t)\,dt
fazendo u=\sin t (então du=\cos t\,dt, e quando t=0 temos u=0, quando t=\pi/2 temos u=1):
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}t\,dt=\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du=\left[u-\tfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
De forma análoga (ou por simetria \sin\leftrightarrow\cos no intervalo [0,\pi/2]),
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt=\tfrac{2}{3}.
Portanto
\int_{C_{1}} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = 8\left(\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}\right)=8\cdot 0 = 0.
Ou seja, a contribuição do arco é 0. (Intuição razoável: as partes em \cos^{3} e \sin^{3} se anularam sobre esse intervalo.)

Passo 5

Parametrização do segmento C_2 de (0,2) a (1,3). Uma parametrização linear conveniente é, para s\in[0,1],
x(s)=0 + s\cdot(1-0)=s,\qquad y(s)=2 + s\cdot(3-2)=2+s.
Então
dx = ds,\qquad dy = ds.
Substituímos na integranda:
x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = s^{2}\,ds + (2+s)^{2}\,ds.
Expanda (2+s)^{2}:
(2+s)^{2}=s^{2}+4s+4,
logo a soma é
s^{2} + (s^{2}+4s+4) = 2s^{2}+4s+4.
Assim
\int_{C_{2}} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = \int_{0}^{1} (2s^{2}+4s+4)\,ds.

Passo 6

Calcule a integral do polinômio:
\int_{0}^{1} (2s^{2}+4s+4)\,ds = \left[\tfrac{2}{3}s^{3}+2s^{2}+4s\right]_{0}^{1} = \tfrac{2}{3}+2+4.
Some os termos:
\tfrac{2}{3}+2+4 = \tfrac{2}{3}+6 = \tfrac{2+18}{3} = \tfrac{20}{3}.
Portanto a contribuição do segmento é \tfrac{20}{3}.

Passo 7

Somando as contribuições de C_{1} e C_{2}:
\int_{C} x^{2}\,dy + y^{2}\,dx = \int_{C_{1}} + \int_{C_{2}} = 0 + \tfrac{20}{3} = \tfrac{20}{3}.

Resposta

\tfrac{20}{3}

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