A la mitad de su altura máxima, la velocidad de un proyectil es 3 / 4 de su velocidad inicial. ¿Qué ángulo forma el vector velocidad inicial con la horizontal?

Passo 1

Resumindo o enunciado: um projétil é lançado com velocidade inicial v0 em um ângulo theta acima da horizontal. Sabemos que, quando ele atinge metade de sua altura máxima, sua velocidade escalar vale tfrac34,v0. O conteúdo é cinemática do movimento oblíquo sem resistência do ar; vamos usar as expressões de componentes da velocidade e a fórmula da altura máxima.

Passo 2

Determinar a componente vertical da velocidade no ponto onde y=H/2. A altura máxima é
H = v0^2sin^2theta2g
Usando conservação da energia cinética vertical (ou vy^2 = v0y^2 - 2g,y), em y=H/2 temos
vy^2 = (v0sintheta)^2 ;-;2g;H2 = v0^2sin^2theta ;-;gH = v0^2sin^2theta ;-;v0^2sin^2theta2 = v0^2sin^2theta2

Passo 3

A componente horizontal da velocidade permanece constante:
vx = v0costheta
Logo, o quadrado da velocidade resultante no ponto y=H/2 é
v^2 = vx^2 + vy^2 = v0^2cos^2theta ;+;v0^2sin^2theta2 = v0^2l(cos^2theta + tfrac12sin^2thetar)
Pelo enunciado, v = tfrac34,v0, então
v^2 = 916,v0^2

Passo 4

Igualando as expressões de v^2:
cos^2theta + tfrac12sin^2theta = 916
Como cos^2theta = 1-sin^2theta, vem
1 - sin^2theta + tfrac12sin^2theta = 916 Longrightarrow 1 - tfrac12sin^2theta = 916 Longrightarrow tfrac12sin^2theta = 716 Longrightarrow sin^2theta = 78

Passo 5

Portanto
sintheta = raiztfrac78 Longrightarrow theta = arcsin!l(raiztfrac78r) approx 69,3^circ

Resposta

theta = arcsin!l(raiz7/8r)approx 69,3^circ

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