Um laboratório afirma 30 % dos brasileiros sofrem de anemia. Numa amostra de 400 brasileiros, um pesquisador observou que 116 são anêmicos. Formule e teste um conjunto apropriado de hipóteses, conforme roteiro a seguir, para verificar se a afirmação do laboratório está correta ou se a porcentagem de anêmicos é menor que 30 %. Use alpha=5 % ?
a) Identifique as hipóteses do teste. (H0 e H1)
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: c) z0,05=1,65 d) Z calc =-0,45

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um laboratório afirma que 30% dos brasileiros têm anemia. Um pesquisador pegou uma amostra de 400 brasileiros e descobriu que 116 deles são anêmicos. Nosso objetivo aqui é verificar se essa afirmação do laboratório tá correta ou se, na real, a porcentagem de anêmicos é menor que 30%. Para isso, vamos usar testes de hipóteses, que fazem parte da estatística inferencial. Precisaremos entender conceitos como hipótese nula, alternativa, nível de significância, valor crítico, estatística de teste e interpretação dos resultados.

Passo 2

a) Identifique as hipóteses do teste. H0: p = 0,30 e H1: p < 0,30
Primeiro, precisamos formular duas hipóteses:
  • Hipótese Nula ( ): é a declaração que queremos testar. Geralmente, ela representa o status quo ou a afirmação inicial. No nosso caso, é que a porcentagem de brasileiros com anemia é igual a 30%.
  • Hipótese Alternativa ( ): é o que queremos provar. Aqui, queremos verificar se a porcentagem de anêmicos é menor que 30%.
Então, formalmente:
Onde representa a propor��ão de brasileiros com anemia.

Passo 3

b) Especifique o nível de significância.
O nível de significância ( ) é a probabilidade máxima que a gente está disposto a aceitar de cometer o erro tipo I, que é rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No enunciado, já foi definido que ou 0,05.

Passo 4

c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
O valor crítico é um ponto na distribuição que separa a região de rejeição da região de não rejeição. Como nossa hipótese alternativa é uma esquerda ( z0,05 = -1,65 ), vamos olhar para o lado esquerdo da distribuição normal padrão.
Para em um teste unilateral (esquerda), o valor crítico corresponde ao percentil 5% da distribuição normal padrão. Usando a tabela z ou uma calculadora:
Região Crítica: qualquer valor da estatística de teste menor que -1,65 levará à rejeição da hipótese nula.

Passo 5

d) Calcule a estatística do teste.
Vamos calcular a estatística de teste z = p - p0raizp0(1 - p0)n usando a fórmula para proporções:
z = 0,29 - 0,30raiz0,30 times 0,70400
Onde:
  • z = -0,01raiz0,21400 (proporção observada)
  • z = -0,01raiz0,000525 (proporção hipotética)
  • z = -0,010,02291 (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
z approx -0,436
Então,

Passo 6

e) Decisão.
Agora comparamos o valor calculado -0,436 > -1,65 com o valor crítico :
  • Se , rejeitamos .
  • Se , não rejeitamos .
No nosso caso:
Então, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Como não rejeitamos a hipótese nula, não há evidências suficientes para afirmar que a porcentagem de brasileiros com anemia é menor que 30%. Isso significa que a afirmação do laboratório de que 30% dos brasileiros sofrem de anemia está sustentada pelos dados da amostra analisada.

Resposta

c)
d)

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