Um pesquisador está interessado em verificar se existe relação entre salinidade ( Y ) em g/l e a temperatura (X) em ^circ C, na região litorânea de Santa Catarina. Os dados estão descritos na tabela:
X 24 23 23 26 25,5 25 24,3 23
Y 3,85 9,61 2,26 2,06 2,89 9,61 10,58 11,40
a) Obtenha e interprete o diagrama de dispersão.
b) Obtenha e interprete o coeficiente de correlação.
c) Apresente o modelo de regressão linear. Identifique os valores de alpha e beta.
d) Você considera o modelo de regressão obtido no item c) adequado para estimar a salinidade quando a temperatura for de 23,4^circ C ?
Cálculos:
X Y X^2 Y^2 XY
24 3.85 576 14.8 92.4
23 9.61 529 92.4 221.0
23 2.26 529 5.1 52.0
26 2.06 676 4.2 53.6
25.5 2.89 650.25 8.4 73.7
25 9.61 625 92.4 240.3
24.3 10.58 590.49 111.9 257.1
23 11.4 529 130.0 262.2
SOMA 193.8 52.26 4704.74 459.1 1252.21

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer analisar se tem uma relação entre a salinidade (Y) e a temperatura (X) na região litorânea de Santa Catarina. Para isso, vamos usar ferramentas de estatística como diagrama de dispersão, coeficiente de correlação e regressão linear.

Passo 2

a) Obtenha e interprete o diagrama de dispersão.
Primeiro, o diagrama de dispersão é um gráfico que mostra como duas variáveis estão relacionadas. No nosso caso, vamos plotar a temperatura (X) no eixo horizontal e a salinidade (Y) no vertical.
Olha só, ao fazer isso com os dados fornecidos, a gente consegue visualizar se há uma tendência de aumento ou diminuição da salinidade conforme a temperatura muda. Se os pontos estiverem espalhados de forma aleatória, talvez não tenha muita relação. Se formarem uma linha que sobe ou desce, aí sim, provavelmente existe uma relação entre as duas variáveis.

Passo 3

b) Obtenha e interprete o coeficiente de correlação.
O coeficiente de correlação, representado geralmente por r, indica o quão forte e em que direção as duas variáveis estão relacionadas. Ele varia entre -1 e 1.
Para calcular r, usamos a fórmula:
r = n(sum XY) - (sum X)(sum Y)raiz[nsum X^2 - (sum X)^2][nsum Y^2 - (sum Y)^2]
Usando os dados fornecidos:
  • r = 8 times 1252.21 - 193.8 times 52.26raiz[8 times 4704.74 - (193.8)^2][8 times 459.1 - (52.26)^2]
  • r approx 10017.68 - 10124.59raiz[37637.92 - 37564.44][3672.8 - 2730.34] approx -106.91raiz73.48 times 942.46 approx -106.91raiz69275.46 approx -106.91263.19 approx -0.406
Substituindo na fórmula:
Calculando os valores:
Então, o coeficiente de correlação é aproximadamente -0.406.
Isso indica uma correlação moderada negativa entre temperatura e salinidade. Ou seja, à medida que a temperatura aumenta, a salinidade tende a diminuir, mas não de forma muito intensa.

Passo 4

c) Apresente o modelo de regressão linear. Identifique os valores de Y = alpha + beta X e beta = n(sum XY) - (sum X)(sum Y)n(sum X^2) - (sum X)^2 .
A regressão linear tem a forma:
beta = 8 times 1252.21 - 193.8 times 52.268 times 4704.74 - (193.8)^2 = 10017.68 - 10124.5937637.92 - 37564.44 = -106.9173.48 approx -1.454
Para encontrar alpha = sum Y - beta sum Xn = 52.26 - (-1.454) times 193.88 = 52.26 + 281.328 = 333.588 approx 41.70 (inclinamento):
Y = 41.70 - 1.454X
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar :
Então, o modelo de regressão é:
Aqui, é aproximadamente 41.70 e é aproximadamente -1.454.

Passo 5

d) Você considera o modelo de regressão obtido no item c) adequado para estimar a salinidade quando a temperatura for de ?
Para avaliar se o modelo é adequado, a gente pode considerar alguns aspectos:
  1. Valor de : Com , a correlação é moderada. Não é muito forte, mas indica tendência.
  2. Análise dos resíduos: Seria ideal verificar se os resíduos (diferença entre valores observados e previstos) são aleatórios. Se tiver padrões, o modelo pode não ser adequado.
  3. Intervalo de confiança: Verificar se a temperatura está dentro do intervalo das temperaturas usadas para ajustar o modelo (que vai de 23 a 26°C). Como está dentro, é mais seguro fazer a estimativa.
Considerando esses pontos, especialmente que a temperatura está dentro do intervalo analisado e a correlação não é muito alta, o modelo pode ser usado para estimar a salinidade, mas com certa cautela, sabendo que a precisão não é a melhor.

Resposta

a) O diagrama de dispersão mostra uma tendência moderada de redução da salinidade conforme a temperatura aumenta.
b) O coeficiente de correlação é aproximadamente -0.406, indicando uma correlação moderada negativa entre temperatura e salinidade.
c) O modelo de regressão linear é , onde e .
d) O modelo de regressão é adequado para estimar a salinidade a , mas com cautela devido à correlação moderada.

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