Em um laboratório, uma caixa contém pequenas peças de mesma forma, tamanho e massa. As peças são numeradas, e seus números formam uma progressão aritmética: 5,10,15, ldots, 500. Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a probabilidade (na forma de uma fração irredutível ab ) expressa em porcentagem, de obtermos um número menor que 105 ?

Passo 1

Beleza, aqui o que temos: uma caixa com pecinhas numeradas seguindo uma progressão aritmética (PA) de 5 até 500, de 5 em 5:
5, 10, 15, …, 500.
O que a questão pede é a probabilidade de, ao tirar uma peça ao acaso, ela ter número menor que 105.
Conteúdo envolvido:
  • Noção de PA (o que é termo inicial, razão, termo geral e quantidade de termos).
  • Contagem de resultados (total e favoráveis).
  • Cálculo de probabilidade clássica e conversão em porcentagem.

Passo 2

Primeiro, vamos achar quantas peças tem no total.
Em uma PA, o número de termos é dado por
n = an - a1d + 1
onde
- n = 500 - 55 + 1 = 4955 + 1 = 99 + 1 = 100 é o primeiro termo (aqui 5),
- é o último termo (aqui 500),
- é a razão (aqui 5).
Substituindo:

Ou seja, há 100 peças no total.

Passo 3

Agora, quantas dessas peças têm número menor que 105?
O termo geral de uma PA com ak = a1 + (k-1),d = 5 + (k-1)cdot5 = 5k e 5k < 105 Longrightarrow k < 21 é

Queremos , então:
Como é inteiro e começa em 1, os valores possíveis são .
Isso dá 20 termos que satisfazem a condição.

Passo 4

Na probabilidade clássica,
P = número de casos favoráveisnúmero de casos totais = 20100úáú
Simplificando a fração:
20100 = 15
Para transformar em porcentagem, multiplicamos por 100%:
15 = 0,2 = 20%

Resposta

A probabilidade de tirar uma peça com número menor que 105 é , ou seja, 20%.

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