Em um laboratório, uma caixa contém pequenas peças de mesma forma, tamanho e massa. As peças são numeradas, e seus números formam uma progressão aritmética:
. Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a probabilidade (na forma de uma fração irredutível
) expressa em porcentagem, de obtermos um número menor que 105 ?
Passo 1
Beleza, aqui o que temos: uma caixa com pecinhas numeradas seguindo uma progressão aritmética (PA) de 5 até 500, de 5 em 5:
5, 10, 15, …, 500.
O que a questão pede é a probabilidade de, ao tirar uma peça ao acaso, ela ter número menor que 105.
Conteúdo envolvido:
5, 10, 15, …, 500.
O que a questão pede é a probabilidade de, ao tirar uma peça ao acaso, ela ter número menor que 105.
Conteúdo envolvido:
- Noção de PA (o que é termo inicial, razão, termo geral e quantidade de termos).
- Contagem de resultados (total e favoráveis).
- Cálculo de probabilidade clássica e conversão em porcentagem.
Passo 2
Primeiro, vamos achar quantas peças tem no total.
Em uma PA, o número de termos é dado por
Em uma PA, o número de termos é dado por
onde
-
-
-
Substituindo:
Ou seja, há 100 peças no total.
Passo 3
Agora, quantas dessas peças têm número menor que 105?
O termo geral de uma PA com e
é
O termo geral de uma PA com
Queremos
Como
é inteiro e começa em 1, os valores possíveis são
.
Isso dá 20 termos que satisfazem a condição.
Isso dá 20 termos que satisfazem a condição.
Passo 4
Na probabilidade clássica,
Simplificando a fração:
Para transformar em porcentagem, multiplicamos por 100%:
Resposta
A probabilidade de tirar uma peça com número menor que 105 é
, ou seja, 20%.