Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por escalonamento, o sistema homogêneo
x + 2y + 3z = 0, 2x + y + 3z = 0, 3x + 2y + z = 0,
além de determinar o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada. Vamos usar eliminação de Gauss e depois contar pivôs para obter os postos.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada l[Amid 0r] e aplicamos operações para zerar abaixo do primeiro pivô:
(ccc|c 1 & 2 & 3 & 0 2 & 1 & 3 & 0 3 & 2 & 1 & 0 )
Fazendo R2 R2-2R1 e R3 R3-3R1, obtemos
(ccc|c 1 & 2 & 3 & 0 0 & -3 & -3 & 0 0 & -4 & -8 & 0 )

Passo 3

Agora usamos o segundo pivô para eliminar abaixo: fazemos R3 R3-tfrac43R2. Assim chegamos à forma triangular superior:
(ccc|c 1 & 2 & 3 & 0 0 & -3 & -3 & 0 0 & 0 & -4 & 0 )

Passo 4

Na forma obtida vemos três pivôs não nulos (nas colunas 1, 2 e 3). Logo o posto da matriz de coeficientes é
rho(A)=3
Como a matriz ampliada difere apenas por uma coluna de zeros, ela também tem posto
rhol(Amid0r)=3

Passo 5

O sistema é homogêneo e o posto é igual ao número de incógnitas ( 3), portanto a única solução é a trivial:
x=0, y=0, z=0

Resposta

O posto da matriz de coeficientes é rho(A)=3, o posto da matriz ampliada é rho(Amid0)=3 e a solução é x=y=z=0.

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