Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.
3 x-y & =1 2 y-5 z & =-11 x+y-t & =-1 x+z+t & =10

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,t), e pede para resolvê-lo por escalonamento (eliminação de Gauss) e, em seguida, determinar o posto da matriz de coeficientes A e da matriz ampliada (A,|, b). Vamos montar a matriz aumentada, escalonar e usar substituição para encontrar a solução, depois contar os pivôs não nulos para os postos.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada na ordem :

Passo 3

Para facilitar, trocamos a linha com a linha (pivot em ) e eliminamos nas linhas e :
em que fizemos
e
.

Passo 4

Usando o pivô em na linha , eliminamos nas linhas e :
onde
e
.

Passo 5

Com o pivô em (linha ), eliminamos na linha :
onde .

Passo 6

Agora temos um sistema triangular superior. Fazendo substituição regressiva:
3120,t &= 415 Longrightarrow t = 4153120 = 415cdot2031 = 16431,[6pt] -10,z +3t &= -18 Longrightarrow z = 18+3t10 = 18 + 3cdot 1643110 = 10531,[6pt] 2,y -5z &= -11 Longrightarrow y = -11 +5z2 = -11 +5cdot105312 = 9231,[6pt] x + y - t &= -1 Longrightarrow x = -1 -y + t = -1 - 9231 + 16431 = 4131 ]

Passo 7

Como obtivemos quatro pivôs não nulos (um em cada coluna de x,y,z,t), o posto da matriz de coeficientes é
rank(A)=4,
e o posto da matriz ampliada também é
rank(A,|, b)=4

Resposta

x=4131, y=9231, z=10531, t=16431 rank(A)=4,;rank(A,|, b)=4

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