Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,t), e pede para resolvê-lo por escalonamento (eliminação de Gauss) e, em seguida, determinar o posto da matriz de coeficientes A e da matriz ampliada (A,|, b). Vamos montar a matriz aumentada, escalonar e usar substituição para encontrar a solução, depois contar os pivôs não nulos para os postos.
Passo 2
Escrevendo a matriz aumentada na ordem :
Passo 3
Para facilitar, trocamos a linha com a linha (pivot em ) e eliminamos nas linhas e :
em que fizemos e .
Passo 4
Usando o pivô em na linha , eliminamos nas linhas e :
onde e .
Passo 5
Com o pivô em (linha ), eliminamos na linha :
onde .
Passo 6
Agora temos um sistema triangular superior. Fazendo substituição regressiva:
3120,t &= 415 Longrightarrow t = 4153120 = 415cdot2031 = 16431,[6pt] -10,z +3t &= -18 Longrightarrow z = 18+3t10 = 18 + 3cdot 1643110 = 10531,[6pt] 2,y -5z &= -11 Longrightarrow y = -11 +5z2 = -11 +5cdot105312 = 9231,[6pt] x + y - t &= -1 Longrightarrow x = -1 -y + t = -1 - 9231 + 16431 = 4131 ]
Passo 7
Como obtivemos quatro pivôs não nulos (um em cada coluna de x,y,z,t), o posto da matriz de coeficientes é