Uma variável aleatória discreta
pode assumir apenas os valores
e 5. A distribuição de probabilidades de
é fornecida na tabela abaixo:
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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Determine
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta $ X $ que pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A distribuição de probabilidades está organizada na tabela, onde os primeiros três valores têm probabilidade $ \alpha $ cada e os dois últimos têm probabilidade $ \beta $ cada. O objetivo aqui é encontrar a expectativa $ \mathrm{E}(X) $ dessa variável, sabendo que a probabilidade de $ X $ ser pelo menos 2 é três vezes a probabilidade de $ X $ ser menor que 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidades e expectativa matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades envolvidas. A tabela nos diz que:
Como a soma de todas as probabilidades de uma distribuição de probabilidade deve ser 1, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição dada: $ \mathrm{P}(X \geq 2) = 3 \mathrm{P}(X < 2) $.
Primeiro, vamos calcular $ \mathrm{P}(X \geq 2) $:
E $ \mathrm{P}(X < 2) $:
De acordo com a condição:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $ \alpha $ e $ \beta $:
Passo 5
Agora, voltamos à equação da soma das probabilidades:
Substituindo $ \beta $ por $ \frac{5}{3}\alpha $:
Então,
Passo 6
Agora que temos $ \alpha $ e $ \beta $, podemos calcular $ \mathrm{E}(X) $, que é a expectativa matemática de $ X $. A fórmula para a expectativa é:
Vamos substituir os valores:
Substituindo $ \alpha = \frac{1}{8} $ e $ \beta = \frac{5}{24} $:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
Agora, somamos todos esses valores:
Passo 8
Vamos converter todas as frações para o denominador 24 para facilitar a soma:
Agora, somamos:
Passo 9
Simplificando a fração:
Resposta
A expectativa $ \mathrm{E}(X) $ é $ \frac{23}{8} $ ou aproximadamente 2,875.