Uma variável aleatória discreta X pode assumir apenas os valores 0,1,2,3,4 e 5. A distribuição de probabilidades de X é fornecida na tabela abaixo:
x 0 1 2 3 4 5
P(X=x) alpha alpha alpha beta beta beta
Determine E(X) sabendo que P(X >= 2)=3 P(X<2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta $ X $ que pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A distribuição de probabilidades está organizada na tabela, onde os primeiros três valores têm probabilidade $ \alpha $ cada e os dois últimos têm probabilidade $ \beta $ cada. O objetivo aqui é encontrar a expectativa $ \mathrm{E}(X) $ dessa variável, sabendo que a probabilidade de $ X $ ser pelo menos 2 é três vezes a probabilidade de $ X $ ser menor que 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidades e expectativa matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades envolvidas. A tabela nos diz que:
P(X=0) = alpha, P(X=1) = alpha, P(X=2) = alpha
P(X=3) = beta, P(X=4) = beta, P(X=5) = beta
Como a soma de todas as probabilidades de uma distribuição de probabilidade deve ser 1, podemos escrever:
3alpha + 3beta = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição dada: $ \mathrm{P}(X \geq 2) = 3 \mathrm{P}(X < 2) $.
Primeiro, vamos calcular $ \mathrm{P}(X \geq 2) $:
P(X >= 2) = 3 P(X < 2)
E $ \mathrm{P}(X < 2) $:
P(X >= 2)
De acordo com a condição:
P(X >= 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = alpha + 3beta

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $ \alpha $ e $ \beta $:
alpha

Passo 5

Agora, voltamos à equação da soma das probabilidades:
3alpha + 3beta = 1
Substituindo $ \beta $ por $ \frac{5}{3}\alpha $:
beta
Então,
53alpha

Passo 6

Agora que temos $ \alpha $ e $ \beta $, podemos calcular $ \mathrm{E}(X) $, que é a expectativa matemática de $ X $. A fórmula para a expectativa é:
alpha
Vamos substituir os valores:
beta
Substituindo $ \alpha = \frac{1}{8} $ e $ \beta = \frac{5}{24} $:
E(X)

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
0 times 18 = 0
1 times 18 = 18
2 times 18 = 28 = 14
3 times 524 = 1524 = 58
4 times 524 = 2024 = 56
5 times 524 = 2524
Agora, somamos todos esses valores:
E(X) = 0 + 18 + 14 + 58 + 56 + 2524

Passo 8

Vamos converter todas as frações para o denominador 24 para facilitar a soma:
18 = 324, 14 = 624, 58 = 1524, 56 = 2024, 2524 = 2524
Agora, somamos:
E(X) = 0 + 324 + 624 + 1524 + 2024 + 2524 = 6924

Passo 9

Simplificando a fração:
6924 = 238 = 2,875

Resposta

A expectativa $ \mathrm{E}(X) $ é $ \frac{23}{8} $ ou aproximadamente 2,875.

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