Resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l} 4 a-b+2 c=10 \\\ a+3 b-c=-2 \\\\ 2 a+b+c=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear em (a,b,c) \begin{cases} 4a - b + 2c = 10,\\\ a + 3b - c = -2,\\\\ 2a + b + c = 4. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas pelo método de eliminação de variáveis (eliminação de Gauss).

Passo 2

Vamos eliminar a das duas últimas equações. Denotando
(E_1)\colon 4a - b + 2c = 10, \quad (E_2)\colon a + 3b - c = -2, \quad (E_3)\colon 2a + b + c = 4,
multiplicamos (E_2) por 4 e subtraímos (E_1):
4\cdot(E_2)- (E_1)\;\Longrightarrow\; (4a+12b-4c)-(4a - b +2c)=-8-10 \;\Rightarrow\; 13b - 6c = -18.
Chamemos esta nova equação de (E_4).

Passo 3

Agora eliminamos a combinando (E_2) e (E_3). Multiplicamos (E_2) por 2 e subtraímos (E_3):
2\cdot(E_2)- (E_3)\;\Longrightarrow\; (2a+6b-2c)-(2a + b + c)=-4-4 \;\Rightarrow\; 5b - 3c = -8.
Chamemos esta equação de (E_5). Agora temos o sistema em (b,c):
\begin{cases} 13b - 6c = -18,\\\\ 5b - 3c = -8. \end{cases}

Passo 4

Para resolver o sistema em b,c, note que 5b-3c=-8 multiplicado por 2 10b-6c=-16. Subtraindo desta (13b-6c=-18):
(13b-6c)-(10b-6c)= -18 - (-16) \;\Rightarrow\; 3b = -2 \;\Rightarrow\; b = -\tfrac{2}{3}.
Substituindo em 5b-3c=-8:
5\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)-3c=-8 \;\Rightarrow\; -\tfrac{10}{3}-3c=-8 \;\Rightarrow\; -3c = -8 + \tfrac{10}{3} = -\tfrac{24}{3} + \tfrac{10}{3} = -\tfrac{14}{3} \;\Rightarrow\; c = \tfrac{14}{9}.

Passo 5

Finalmente, usamos uma das equações originais para achar a. Por exemplo, em
(E_3)\colon 2a + b + c = 4
substituímos b=-\tfrac{2}{3} e c=\tfrac{14}{9}:
2a = 4 - \Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr) - \tfrac{14}{9} = 4 + \tfrac{2}{3} - \tfrac{14}{9} = \tfrac{36}{9} + \tfrac{6}{9} - \tfrac{14}{9} = \tfrac{28}{9} \;\Rightarrow\; a = \tfrac{14}{9}.

Resposta

a = \tfrac{14}{9}, \quad b = -\tfrac{2}{3}, \quad c = \tfrac{14}{9}.

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