Um laboratório químico modificou o processo de síntese de um reagente com o objetivo de aumentar sua pureza, que anteriormente era de 98,0 \%. Sabe-se que a pureza segue distribuição normal com variância de (1,2 \%)^{2}. Retirou-se uma amostra de 30 lotes, obtendo uma pureza média de 99,0 \%. Ao nível de significância de 10 \%, pode-se aceitar que a pureza média do reagente aumentou?
Resposta: O laboratório pode afirmar que há evidências estatísticas de que a pureza média do reagente aumentou.

Passo 1

O enunciado nos dá que a pureza antiga do reagente era de 98{,}0\% e que, após a modificação, a pureza segue uma distribuição normal com variância conhecida \sigma^{2}=(1{,}2\%)^{2}. Foi coletada uma amostra de tamanho n=30 e observou-se média \bar x=99{,}0\%. Queremos testar, ao nível de significância de 10\%, se a pureza média \mu aumentou em relação a 98{,}0\%. O conteúdo aqui é teste de hipóteses para a média de uma normal com variância conhecida, usando a estatística Z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e o nível de significância:
H_{0}:\mu = 98{,}0\%, \quad H_{1}:\mu > 98{,}0\%,
\alpha = 0{,}10. Como é um teste unilateral à direita, vamos rejeitar H_{0} se a estatística de teste Z for maior que o valor crítico z_{1-\alpha}.

Passo 3

A estatística de teste para média com variância conhecida é
Z_{0} = \frac{\bar x-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}
onde \mu_{0}=98{,}0\%, \bar x=99{,}0\%, \sigma=1{,}2\% e n=30. Substituindo:
Z_{0} = \frac{99{,}0 - 98{,}0}{1{,}2/\sqrt{30}} = \frac{1{,}0}{1{,}2/\sqrt{30}} \approx \frac{1{,}0}{0{,}219} \approx 4{,}57.

Passo 4

Para \alpha=0{,}10 e teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{1-\alpha} = z_{0{,}90} \approx 1{,}28.
A região de rejeição é Z_{0}>1{,}28.

Passo 5

Como Z_{0}\approx4{,}57 é bem maior que 1{,}28, caímos na região de rejeição de H_{0}. Portanto, rejeitamos H_{0} ao nível de 10\%.

Resposta

O laboratório pode afirmar que há evidências estatísticas, ao nível de significância de 10\%, de que a pureza média do reagente aumentou.

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