Ao lado de cada conjunto, escreva
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+5 y^{2}>3\right}(\quad)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto
S = (x,y)inR^2 : x^2 + 5y^2 > 3
como aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo é topologia em R^2: vamos usar a noção de pré-imagem de conjuntos abertos por função contínua.

Passo 2

Definimos a função
fcolon R^2 to R, f(x,y) = x^2 + 5y^2
Como soma e produto de polinômios, f é contínua em R^2.

Passo 3

Note que
S = f^-1l((3,infty)r),
pois (x,y) está em S exatamente quando f(x,y)>3. O intervalo (3,infty) é aberto em R e, por continuidade de f, sua pré-imagem S é aberta em R^2.

Passo 4

Como S não contém sua fronteira x^2+5y^2=3, ele não é fechado. Logo S é aberto e não fechado.

Resposta

A

Exercícios relacionados