Ao lado de cada conjunto, escreva
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+5 y^{2}>3\right}(\quad)
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+5 y^{2}>3\right}(\quad)
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto
como aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo é topologia em
: vamos usar a noção de pré-imagem de conjuntos abertos por função contínua.
Passo 2
Definimos a função
Como soma e produto de polinômios,
é contínua em
.
Passo 3
Note que
pois
está em
exatamente quando
. O intervalo
é aberto em
e, por continuidade de
, sua pré-imagem
é aberta em
.
Passo 4
Como
não contém sua fronteira
, ele não é fechado. Logo
é aberto e não fechado.