Uma placa plana, cujo material tem condutividade térmica k, dissipa energia térmica gerada por efeito Joule a uma taxa volumétrica uniforme e constante de dotqg. Pela face direita, sabe-se que o fluxo de calor dissipado para o exterior é constante e igual a dotqg L3, onde L é a espessura da placa. Já a face da esquerda está em contato com um fluido com temperatura Tinfty e coeficiente de troca de calor por convecção h. Considerando que condições de regime permanente são estabelecidas, a radiação térmica pode ser ignorada e a resistência à convecção entre a face esquerda da placa e o fluido adjacente é significativa, pede-se:
a) Determinar o perfil de temperatura no interior da placa;
b) Determinar a posição dentro da placa onde a temperatura será máxima;
c) Obter as expressões para as temperaturas das faces direita e esquerda da placa;
d) É possível resolver o item © sem determinar o perfil de temperaturas? Justifique com base em argumentos físicos e equacionamento matemático pertinentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está dizendo é que temos uma placa plana de um material que conduz calor bem (tem condutividade térmica k). Nessa placa, está ocorrendo geração de calor por um fenômeno chamado efeito Joule, que basicamente é a produção de calor quando uma corrente elétrica passa pelo material. A taxa de geração desse calor é uniforme e constante, dada por dotqg.
Na face direita da placa, o calor está sendo dissipado para o ambiente externo com um fluxo constante igual a dotqg L3, onde L é a espessura da placa. Já na face esquerda, a placa está em contato com um fluido com temperatura Tinfty e um coeficiente de troca de calor por convecção h. Estamos considerando que tudo está em regime permanente, ou seja, as temperaturas não estão variando com o tempo.
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor (Lei de Fourier), convecção e equilíbrio térmico para resolver os itens a, b, c e d.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o perfil de temperatura dentro da placa (item a).
Como a geração de calor é uniforme e o sistema está em regime permanente, a equação geral de condução com geração de calor é:
d^2 Tdx^2 + dotqgk = 0
Aqui, T é a temperatura, x é a direção através da espessura da placa, k é a condutividade térmica, e dotqg é a geração de calor por volume.
Integrando a equação uma vez:
dTdx = -dotqgkx + C1
Integrando de novo:
T(x) = -dotqg2kx^2 + C1 x + C2
Esse é o perfil de temperatura geral na placa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde ocorre a temperatura máxima dentro da placa (item b).
Para isso, derivamos T(x) em relação a x e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
dTdx = -dotqgkx + C1 = 0
Resolvendo para x:
x = C1 kdotqg
Esse valor de x nos dá a posição onde a temperatura é máxima. Precisamos determinar C1 usando as condições de contorno para obter a posição exata.

Passo 4

Vamos agora obter as expressões para as temperaturas das faces direita e esquerda da placa (item c).
Na face esquerda ( x=0), temos convecção com o fluido:
- k dTdx|x=0 = h(T(0) - Tinfty)
Na face direita ( x=L), o fluxo de calor é dotqg L3:
- k dTdx|x=L = dotqg L3
Usando a expressão de T(x) que encontramos e aplicando essas condições, podemos determinar as constantes C1 e C2, e assim obter as temperaturas nas faces.

Passo 5

Por fim, vamos ver se é possível resolver o item © sem determinar todo o perfil de temperaturas (item d).
Sim, dá pra resolver! A ideia é usar o método das resistências térmicas, que é semelhante ao circuito elétrico. Sabemos as resistências de condução na placa e de convecção na face esquerda. Com isso, sem precisar achar toda a função T(x), podemos relacionar as temperaturas das faces diretamente usando as resistências equivalentes.

Resposta

a) O perfil de temperatura dentro da placa é dado por $ T(x) = -\frac{\dot{q}_g}{2k}x^2 + C_1 x + C_2 $.
b) A temperatura máxima ocorre na posição $ x = \frac{C_1 k}{\dot{q}_g} $, onde T(x) = -dotqg2kx^2 + C1 x + C2 é determinada pelas condições de contorno.
c) As temperaturas nas faces esquerda e direita da placa são obtidas aplicando as condições de contorno às expressões resultantes para x = C1 kdotqg .
d) Sim, é possível resolver o item © utilizando o método das resistências térmicas, sem precisar determinar todo o perfil de temperaturas, baseando-se em argumentos físicos de equilíbrio térmico e relações de fluxo de calor.

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