Para lambda=5, qual a probabilidade de ocorrerem até 4 falhas?

Passo 1

O enunciado considera uma variável aleatória X que segue a distribuição de Poisson com parâmetro lambda=5 e pede a probabilidade de ocorrerem até quatro falhas, ou seja, P(X<=4). Vamos usar a definição da função massa de probabilidade da Poisson e somar os termos de k=0 a k=4.

Passo 2

A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é
P(X=k)=e^-lambda,lambda^kk!
Aqui lambda=5.

Passo 3

A probabilidade de até quatro falhas é a soma dos eventos de k=0 até k=4:
P(X<=4)=sumk=0^4P(X=k) =sumk=0^4e^-5,5^kk!

Passo 4

Vamos calcular cada termo dessa soma:
Para k=0:
P(X=0)=e^-55^00!=e^-5approx0,0067379
Para k=1:
P(X=1)=e^-55^11!=5e^-5approx0,0336897
Para k=2:
P(X=2)=e^-55^22!=12,5,e^-5approx0,0842243
Para k=3:
P(X=3)=e^-55^33!approx0,1403739
Para k=4:
P(X=4)=e^-55^44!approx0,1754674

Passo 5

Somando todos esses valores:
P(X<=4)=0,0067379+0,0336897+0,0842243+0,1403739+0,1754674approx0,4404932

Resposta

A probabilidade de ocorrerem até quatro falhas é aproximadamente 0,4405.

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