Resolva os PVIs:
2 y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valores iniciais (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
2 y'' + 5 y' + 3 y = 0
Com as condições iniciais:
y(0) = 1
y'(0) = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica e, a partir delas, determinar a solução geral da equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, a = 2, b = 5 e c = 3. Então, a equação fica:
2 r^2 + 5 r + 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
r = -5 pm raiz5^2 - 4 cdot 2 cdot 32 cdot 2
r = -5 pm raiz25 - 244
r = -5 pm raiz14
r = -5 pm 14
Então, temos duas raízes:
r1 = -5 + 14 = -44 = -1
r2 = -5 - 14 = -64 = -32

Passo 4

Com as raízes r1 = -1 e r2 = -32, que são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo os valores das raízes:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-32 t

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2. Primeiro, aplicamos y(0) = 1:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 1
Então, temos a primeira equação:
C1 + C2 = 1 (1)

Passo 6

Em seguida, precisamos da derivada de y(t) para aplicar a segunda condição inicial y'(0) = 0. Vamos calcular y'(t):
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-32 t
Derivando em relação a t:
y'(t) = -C1 e^-t - 32 C2 e^-32 t
Agora, aplicamos y'(0) = 0:
y'(0) = -C1 e^0 - 32 C2 e^0 = -C1 - 32 C2 = 0
Então, temos a segunda equação:
-C1 - 32 C2 = 0 (2)

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2):
Equação (1):
C1 + C2 = 1
Equação (2):
-C1 - 32 C2 = 0
Podemos multiplicar a equação (2) por -1 para facilitar:
C1 + 32 C2 = 0
Agora, temos:
  1. C1 + C2 = 1
  2. C1 + 32 C2 = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 + 32 C2) - (C1 + C2) = 0 - 1
32 C2 - C2 = -1
12 C2 = -1
C2 = -2
Agora, substituímos C2 = -2 na equação (1):
C1 - 2 = 1
C1 = 3

Passo 8

Com os valores das constantes encontrados, C1 = 3 e C2 = -2, podemos escrever a solução particular do PVI:
y(t) = 3 e^-t - 2 e^-32 t

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 3 e^-t - 2 e^-32 t

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