Resolva os PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valores iniciais (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica e, a partir delas, determinar a solução geral da equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes
e
, que são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiro, aplicamos
:
Então, temos a primeira equação:
Passo 6
Em seguida, precisamos da derivada de
para aplicar a segunda condição inicial
. Vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Agora, aplicamos
:
Então, temos a segunda equação:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações formado por (1) e (2):
Equação (1):
Equação (2):
Podemos multiplicar a equação (2) por
para facilitar:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 8
Com os valores das constantes encontrados,
e
, podemos escrever a solução particular do PVI:
Resposta
A solução do PVI é: