Uma lâmina infinita de corrente operatorname{com} \mathbf{K}=6 \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m} existe no plano x z em y=0. Utilizando a Lei de Ampère, determine:
\mathbf{H}(3,4,5).

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina infinita de corrente localizada no plano y=0 (plano xz) com densidade de corrente de superfície
\mathbf{K}=6\,\mathbf{a}_z\;\mathrm{A}/\mathrm{m}.
Pede-se o vetor campo de intensidade magnética \mathbf{H} no ponto (x,y,z)=(3,4,5).
Conteúdo: usaremos a Lei Integral de Ampère para uma lâmina infinita de corrente e o argumento de simetria para perceber que \mathbf{H} só depende de y e é paralelo a \mathbf{a}_x.

Passo 2

Por simetria, o módulo de \mathbf{H} só varia com y e a direção de \mathbf{H} tem de ser paralela ao eixo x (pois a lâmina é infinita em x e z). Logo podemos escrever, para y>0,
\mathbf{H}=H(y)\,\mathbf{a}_x.
Para y<0, ele terá o mesmo módulo mas direção oposta.

Passo 3

Escolhemos um caminho amperiano retangular de largura L ao longo de x e altura 2h em y, centrado em y=0. Aplicando a Lei de Ampère:
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{\rm int}.
Só as arestas paralelas a x (duas) contribuem. Em y=+h temos \mathbf{H}=H\,\mathbf{a}_x indo no sentido positivo de x, e em y=-h temos \mathbf{H}=-H\,\mathbf{a}_x. Então
\oint \mathbf{H}\!\cdot d\mathbf{l} = H\,L \;+\; H\,L =2\,H\,L.
A corrente atravessada pelo laço é a corrente de superfície \mathbf{K} vezes o comprimento L:
I_{\rm int}=K\,L.
Logo
2\,H\,L \;=\; K\,L \quad\Longrightarrow\quad H=\frac{K}{2}= \frac{6}{2}=3\;\mathrm{A}/\mathrm{m}.

Passo 4

Falta só o sinal. Pelo sentido da regra da mão direita (polegar em \mathbf{K}, dedos dando a volta ao laço), para y>0 a componente de \mathbf{H} aponta em -\mathbf{a}_x. Portanto, no ponto (3,4,5) (onde y=4>0),
\mathbf{H}(3,4,5) = -3\,\mathbf{a}_x\;\mathrm{A}/\mathrm{m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}(3,4,5) = -3\,\mathbf{a}_x\;\mathrm{A}/\mathrm{m}.

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