Uma lâmina infinita de corrente operatorname{com} \mathbf{K}=6 \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m} existe no plano x z em y=0. Utilizando a Lei de Ampère, determine:
\mathbf{H}(3,-4,5).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma lâmina infinita de corrente de densidade superficial \mathbf{K}=6\,\mathbf{a}_z A/m no plano y=0 (plano xz). O que se pede é o vetor campo magnético \mathbf{H} no ponto (3,-4,5). O conteúdo principal que vamos usar é a condição de contorno de \mathbf{H} através de uma superfície com corrente superficial, dada por
\mathbf{n}\times\bigl(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1}\bigr)=\mathbf{K},
além de argumentos de simetria para concluir os valores de \mathbf{H} em cada lado da lâmina.

Passo 2

Aplicamos a condição de contorno. Escolhemos a região 1 como y<0 (lado “abaixo” da lâmina) e a região 2 como y>0 (lado “acima” da lâmina). O vetor normal unitário da lâmina, apontando de 1 para 2, é \mathbf{n}=\mathbf{a}_y. A condição de contorno é
\mathbf{a}_y \times\bigl(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1}\bigr) =\mathbf{K} =6\,\mathbf{a}_z.
Para simplificar, definimos
\Delta\mathbf{H}=\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1}.
Queremos \mathbf{a}_y\times\Delta\mathbf{H}=6\,\mathbf{a}_z.

Passo 3

Determinamos \Delta\mathbf{H}. Note que
\mathbf{a}_y \times(-6\,\mathbf{a}_x) =-6\,\bigl(\mathbf{a}_y\times\mathbf{a}_x\bigr) =-6\,(-\mathbf{a}_z) =6\,\mathbf{a}_z,
logo
\Delta\mathbf{H} =\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1} =-6\,\mathbf{a}_x.
Isto significa que, atravessando a lâmina de baixo para cima, o campo \mathbf{H} sofre um salto de -6\,\mathbf{a}_x.

Passo 4

Argumento de simetria: por ser lâmina infinita e uniforme em xz, \mathbf{H} depende apenas de y e é constante em cada região. A única forma de ter uma diferença de -6\,\mathbf{a}_x com dois valores constantes é escolher
\mathbf{H}_{2}=-3\,\mathbf{a}_x,\quad \mathbf{H}_{1}=+3\,\mathbf{a}_x,
pois
\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1} =-3\,\mathbf{a}_x-(+3\,\mathbf{a}_x) =-6\,\mathbf{a}_x.

Passo 5

No ponto (3,-4,5) temos y=-4<0, isto é, estamos na região 1 (abaixo da lâmina). Logo
\mathbf{H}(3,-4,5)=\mathbf{H}_{1} =3\,\mathbf{a}_x\quad\text{(A/m)}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}(3,-4,5)=3\,\mathbf{a}_x\\ \text{A/m}.

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