Em um meio condutor
\mathbf{H}=y^{2} \cdot z \mathbf{a}_{x}+2 \cdot(x+1) \cdot y \cdot z \mathbf{a}_{y}-(x+1) \cdot z^{2} \mathbf{a}_{z} \frac{A}{m}
determine:
(a) |\mathbf{J}| \mathrm{em}(1,0,-3).
(b) a corrente que passa através de y=1,0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá o vetor de campo magnético
\mathbf{H}(x,y,z)=y^{2}z\,\mathbf{a}_{x}+2(x+1)yz\,\mathbf{a}_{y}-(x+1)z^{2}\,\mathbf{a}_{z}
em um meio condutor e pede (a) o módulo da densidade de corrente \mathbf{J} em (1,0,-3) e (b) a corrente que atravessa a superfície y=1, 0\le x\le1, 0\le z\le1.
Para resolver precisamos usar a lei de Ampère local:
\mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{H}.

Passo 2

Calculemos o rotacional de \mathbf{H}. Escrevendo
H_x=y^2z,\quad H_y=2(x+1)yz,\quad H_z=-(x+1)z^2,
temos
J_x=\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z} =0-2(x+1)y=-2(x+1)y,
J_y=\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x} =y^2-(-z^2)=y^2+z^2,
J_z=\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y} =2yz-2yz=0.
Logo
\mathbf{J}(x,y,z)=-2(x+1)y\,\mathbf{a}_x+(y^2+z^2)\,\mathbf{a}_y.

Passo 3

Para o ponto (1,0,-3) temos x=1, y=0, z=-3. Assim
J_x=-2\,(1+1)\cdot0=0, \quad J_y=0^2+(-3)^2=9, \quad J_z=0.
O módulo é
|\mathbf{J}|=\sqrt{0^2+9^2+0^2}=9\\ \frac{A}{m^2}.

Passo 4

Agora o problema (b) pede a corrente atravessando a superfície y=1 limitada por 0\le x\le1, 0\le z\le1. Tomando a normal unitária \mathbf{n}=\mathbf{a}_y, a corrente é
I=\iint_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{0\le x\le1,\;0\le z\le1}J_y\;dx\,dz
em y=1. Como J_y=y^2+z^2, em y=1 fica 1+z^2.

Passo 5

Portanto
I=\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{1}\bigl(1+z^2\bigr)\,dz\,dx =\int_{x=0}^{1}\Bigl[z+\tfrac{z^3}{3}\Bigr]_{0}^{1}dx =\int_{0}^{1}\Bigl(1+\tfrac{1}{3}\Bigr)dx =\tfrac{4}{3}\,A.

Resposta

(a) 9\\ \mathrm{A/m^2}
(b) \tfrac{4}{3}\\ \mathrm{A}

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