8- Uma lâmina de quarto de onda para a luz com comprimento de onda de 550 nm é feita de quartzo cristalino e espessura de 0,618 mm. Os índices de refração para esse material podem ser calculados, na região do visível (de 400 a 700 nm ), pelas seguintes expressões:
nr=1,5179+15,6388lambda e nl=1,5261+16,1484lambda
Qual o comprimento de onda mais próximo de 550 nm tal que esta placa funcione como uma lâmina de meia onda?

Passo 1

O problema diz que temos uma lâmina de quartzo de espessura t=0,618 mm=618000 nm concebida para funcionar como lâmina de quarto de onda em lambda0=550 nm. Os índices de refração ordinário e extraordinário variam com lambda (em nm) por
nr(lambda)=1,5179+15,6388lambda, nl(lambda)=1,5261+16,1484lambda
Queremos achar o comprimento de onda, próximo de 550 nm, para o qual a mesma lâmina passe a funcionar como lâmina de meia-onda.

Passo 2

A defasagem que a lâmina introduz entre os dois eixos de polarização é
de<a(lambda) =2pil[nl(lambda)-nr(lambda)r],tlambda
Para meia-onda devemos ter
de<a(lambda)=(2k+1),pi,
com k inteiro. Dividindo ambos os lados por pi e reorganizando, obtemos a equação
[,nl(lambda)-nr(lambda),],tlambda =k+tfrac12

Passo 3

Definindo
De<a n(lambda)=nl(lambda)-nr(lambda) =0,0082+0,5096lambda,
e sabendo t=618000 nm, a condição fica
De<a n(lambda),tlambda =k+tfrac12 Longrightarrow (k+tfrac12),lambda =De<a n(lambda),t
Escrevendo numericamente
De<a n(lambda),t =l(0,0082+0,5096lambdar),618000 =5061,6+315078,8lambda,
temos a equação quadrática
(k+tfrac12),lambda^2 -5061,6,lambda-315078,8=0

Passo 4

O valor de k que torna lambda mais próximo de 550 nm sai de testar k=10 (que dá k+tfrac12=10,5) e k=9 ( k+tfrac12=9,5).
  • Para k=10:
10,5,lambda^2-5061,6,lambda-315078,8=0 ;Longrightarrow; lambdaapprox537,8 nm
  • Para k=9:
9,5,lambda^2-5061,6,lambda-315078,8=0 ;Longrightarrow; lambdaapprox589,2 nm
A diferença em relação a 550 nm é menor para 537,8 nm.

Resposta

537,8 nm

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