4 Uma lâmina tem a forma de semi esfera . Calcule o momento de inércia da lâmina, com relação ao eixo sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao plano .
Soluçã:
Em cond esféricas
temos l=a, 0 <= p <= pi / 2,0 <= theta <= 2 pi
& x^2+y^2=rho^2 sen^2 phi(barrho=a) a^2 sen^2 phi & (x^2+y^2) z=a^3 sen^2 phi cos phi & d s=rho^2 sen phi d phi d theta=a^2 sen phi d phi d theta & therefore Iz=integral0^pi / 2 integral0^2 pi k a^3 p sen^2 phi cos phi cdot a^2 sen phi d theta d phi & & =k a^5 integral0^pi / 2 integral0^2 pi sen^3 phi cos phi d theta d phi & & =2 k a^5 pi integral0^pi / 2 sen^3 phi cos phi d phi & & =k a^5 pi2 sen^4 phi|0 ^pi / 2 & & =12 k a^5 pi
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma lâmina que é a superfície da semiesfera
x^2+y^2+z^2=a^2, z>=0
em torno do eixo Z, sabendo que a densidade superficial é proporcional à distância ao plano XY. Para lâminas de densidade f(x,y,z) usa-se a fórmula
Iz=integralS(x^2+y^2),f(x,y,z),dS
Passo 2
Como a densidade é proporcional à distância ao plano XY, temos
f(x,y,z)=k,z,
onde k é constante, e a distância ao eixo Z ao quadrado é
d^2=x^2+y^2
Logo
Iz=integralS(x^2+y^2),k,z,dS
Passo 3
Parametrizamos S em coordenadas esféricas com rho=a, phiin[0,pi/2], thetain[0,2pi]:
x=asinphicostheta, y=asinphisintheta, z=acosphi,
e o elemento de área é
dS=a^2sinphi,dphi,dtheta
Além disso
x^2+y^2=a^2sin^2phi, z=acosphi
Passo 4
Substituindo no integral,
Iz =integral0^2piintegral0^pi/2kl(a^2sin^2phir)l(acosphir)l(a^2sinphir),dphi,dtheta = k,a^5integral0^2piintegral0^pi/2sin^3phicosphi,dphi,dtheta
Integrando em theta dá fator 2pi:
Iz=2pi,k,a^5integral0^pi/2sin^3phicosphi,dphi
Passo 5
Para calcular integral0^pi/2sin^3phicosphi,dphi use u=sinphi, du=cosphi,dphi, obtendo