O sol emite luz com intensidade máxima em comprimento de onda \lambda_{m}=500 \mathrm{~nm} ( 1 \mathrm{nm}=10^{-9} \mathrm{~m} ) e assumimos que a superfície do sol se comporta como um corpo negro.
(a) Considerando a velocidade da luz como c=2,998 \times 10^{8} \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, determine a frequência da luz solar com intensidade máxima.
(b) Determine a temperatura da superfície do sol.
(c) Considerando o raio do sol como 6,955 \times 10^{8} \mathrm{~m}, determine a energia total emitida pelo sol por segundo.
(d) A distância entre a Terra e o sol é de 1,496 \times 10^{11} \mathrm{~m}. Assumindo que o sol emite luz igualmente em todas as direções, calcule a energia total por segundo da luz solar que incide sobre a Terra, cujo raio é 6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}.
(e) Assumindo que a Terra é um corpo negro que absorve toda a energia da luz solar, calcule a sua temperatura de superfície.

Passo 1

O enunciado faz as seguintes perguntas e fornece estes dados:
  • (a) Determinar a frequência da luz solar com intensidade máxima.
  • (b) Determinar a temperatura da superfície do Sol.
  • (c) Determinar a energia total emitida pelo Sol por segundo (luminosidade).
  • (d) Calcular a energia total por segundo da luz solar que incide sobre a Terra.
  • (e) Assumindo que a Terra é um corpo negro que absorve toda a energia solar, calcular a temperatura de superfície da Terra.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como foram dados):
  • comprimento de onda de máxima intensidade: \lambda_{m}=500\\ \mathrm{nm} = 500\times10^{-9}\\ \mathrm{m}
  • velocidade da luz: c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}
  • raio do Sol: R_{\odot}=6{,}955\times10^{8}\\ \mathrm{m}
  • distância Terra–Sol: D=1{,}496\times10^{11}\\ \mathrm{m}
  • raio da Terra: R_{\oplus}=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}
Vou usar constantes conhecidas quando necessárias:
  • constante de Wien (deslocamento): b\approx2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}
  • constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}

Passo 2

(a) Frequência correspondente ao comprimento de onda de máxima intensidade.
Teoria rápida e fórmula utilizada: a velocidade da luz \text{(c)}, a frequência (\nu) e o comprimento de onda (\lambda) estão ligados pela relação
c=\lambda\;\nu.
Isso vem da definição de frequência e de onda: a distância que a onda percorre em um período é o comprimento de onda; dividir velocidade por comprimento de onda dá quantos ciclos ocorrem por segundo (frequência). Solucionando para \nu:
\nu=\frac{c}{\lambda}.
Substituindo os valores (usar \lambda_{m}=500\times10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\nu=\frac{2{,}998\times10^{8}}{500\times10^{-9}}.
Calculo passo a passo:
500\times10^{-9}=5{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\nu=\frac{2{,}998\times10^{8}}{5{,}00\times10^{-7}}=2{,}998\times10^{8}\times\frac{1}{5{,}00\times10^{-7}}.
\frac{1}{5{,}00\times10^{-7}}=2{,}00\times10^{6},
\nu=2{,}998\times10^{8}\times2{,}00\times10^{6}=5{,}996\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

(b) Temperatura da superfície do Sol via lei de Wien.
Teoria rápida e fórmula: a lei do deslocamento de Wien dá a relação entre o comprimento de onda onde a emissão de um corpo negro é máxima e sua temperatura:
\lambda_{m}\,T=b,
onde b é a constante de Wien ( b\approx2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}). Isolando T:
T=\frac{b}{\lambda_{m}}.
Substituindo \lambda_{m}=500\times10^{-9}\\ \mathrm{m}:
T=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{500\times10^{-9}}.
Calculo passo a passo:
500\times10^{-9}=5{,}00\times10^{-7},
T=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{5{,}00\times10^{-7}}=2{,}898\times10^{-3}\times\frac{1}{5{,}00\times10^{-7}}.
\frac{1}{5{,}00\times10^{-7}}=2{,}00\times10^{6},
T=2{,}898\times10^{-3}\times2{,}00\times10^{6}=5{,}796\times10^{3}\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma prática para uso em contas seguintes: T\approx5{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{K} (aprox. 5800\\ \mathrm{K}).

Passo 4

(c) Energia total emitida pelo Sol por segundo (luminosidade) usando a lei de Stefan–Boltzmann.
Teoria e fórmulas: a potência irradiada por unidade de área de um corpo negro é dada por
j^\star=\sigma T^{4},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T a temperatura (em K). Para uma esfera (Superfície do Sol) com área A=4\pi R_{\odot}^{2}, a potência total é
L=\sigma\,A\,T^{4}=\sigma\,(4\pi R_{\odot}^{2})\,T^{4}.
Vamos calcular cada termo:
  1. Área da superfície solar:
R_{\odot}=6{,}955\times10^{8}\\ \mathrm{m},
R_{\odot}^{2}=(6{,}955\times10^{8})^{2}=4{,}8372\times10^{17}\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{aprox.}).
A=4\pi R_{\odot}^{2}=4\pi\times4{,}8372\times10^{17}\approx6{,}0787\times10^{18}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. T^{4} com T=5{,}796\times10^{3}\\ \mathrm{K}:
T^{2}=(5{,}796\times10^{3})^{2}=3{,}3593616\times10^{7},
T^{4}=(T^{2})^{2}\approx1{,}12845\times10^{15}\\ \mathrm{K^{4}}.
  1. Agora L=\sigma A T^{4}:
\sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}},
\sigma T^{4}\approx5{,}670374419\times10^{-8}\times1{,}12845\times10^{15}\approx6{,}402\times10^{7}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.
L=A(\sigma T^{4})\approx6{,}0787\times10^{18}\times6{,}402\times10^{7}\approx3{,}891\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Conclusão: luminosidade estimada do Sol L\approx3{,}89\times10^{26}\\ \mathrm{W} (valor muito próximo ao valor aceito 3{,}828\times10^{26}\\ \mathrm{W}; pequenas diferenças vêm de arredondamentos e do uso aproximado de b).

Passo 5

(d) Energia por segundo da luz solar que incide sobre a Terra.
Teoria e fórmulas: assumindo emissão isotrópica, a potência L se distribui uniformemente numa esfera de raio D (distância Terra–Sol). O fluxo (potência por área) na órbita da Terra é
F=\frac{L}{4\pi D^{2}}.
A Terra intercepta essa energia com sua área de projeção (círculo) \pi R_{\oplus}^{2}. Logo a potência recebida pela Terra é
P_{\text{inc}}=F\times\pi R_{\oplus}^{2}=\frac{L}{4\pi D^{2}}\times\pi R_{\oplus}^{2}=\frac{L\,R_{\oplus}^{2}}{4D^{2}}.
Substituindo valores (usar L=3{,}891\times10^{26}\\ \mathrm{W} do passo anterior):
R_{\oplus}=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad R_{\oplus}^{2}=4{,}05769\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}},
D^{2}=(1{,}496\times10^{11})^{2}=2{,}238016\times10^{22}\\ \mathrm{m^{2}}.
\frac{R_{\oplus}^{2}}{4D^{2}}=\frac{4{,}05769\times10^{13}}{4\times2{,}238016\times10^{22}}=\frac{4{,}05769}{8{,}952064}\times10^{-9}\approx4{,}536\times10^{-10}.
P_{\text{inc}}=L\times4{,}536\times10^{-10}\approx3{,}891\times10^{26}\times4{,}536\times10^{-10}\approx1{,}765\times10^{17}\\ \mathrm{W}.
Portanto, a potência solar que incide sobre a Terra é aproximadamente 1{,}77\times10^{17}\\ \mathrm{W} (arredondando).

Passo 6

(e) Temperatura de equilíbrio da Terra assumindo corpo negro que absorve toda a energia.
Teoria e fórmula: se a Terra absorve toda a potência incidente P_{\text{inc}} e reemite como corpo negro em toda a sua superfície (área 4\pi R_{\oplus}^{2}), no equilíbrio térmico vale
\sigma(4\pi R_{\oplus}^{2})T_{\oplus}^{4}=P_{\text{inc}}.
Substituindo P_{\text{inc}}=\dfrac{L R_{\oplus}^{2}}{4D^{2}} e cancelando R_{\oplus}^{2}, obtemos
\sigma(4\pi)T_{\oplus}^{4}=\frac{L}{4D^{2}},
T_{\oplus}^{4}=\frac{L}{16\pi\sigma D^{2}},
T_{\oplus}=\left(\frac{L}{16\pi\sigma D^{2}}\right)^{1/4}.
Agora substituindo os valores:
L=3{,}891\times10^{26}\\ \mathrm{W},\quad D=1{,}496\times10^{11}\\ \mathrm{m},\quad\sigma=5{,}670374419\times10^{-8}.
Calculo intermediário:
D^{2}=2{,}238016\times10^{22},
16\pi\sigma D^{2}\approx50{,}26548\times5{,}670374419\times10^{-8}\times2{,}238016\times10^{22}\approx6{,}379\times10^{16}.
\frac{L}{16\pi\sigma D^{2}}\approx\frac{3{,}891\times10^{26}}{6{,}379\times10^{16}}\approx6{,}102\times10^{9}.
T_{\oplus}=(6{,}102\times10^{9})^{1/4}.
Quarta raiz passo a passo (uma forma prática): tomar log10 e dividir por 4 ou usar aproximação numérica:
T_{\oplus}\approx2{,}79\times10^{2}\\ \mathrm{K}=279\\ \mathrm{K}.
Interpretação rápida: 279\\ \mathrm{K} é cerca de 6^\circ\mathrm{C}. Observação: esse valor considera que a Terra absorve 100% da energia (albedo zero) e que emite uniformemente; na realidade a albedo e propriedades atmosféricas mudam o valor (temperatura efetiva real sem gás-estufa e com albedo típica resulta em cerca de 255\\ \mathrm{K}). Mas aqui, seguindo o enunciado (corpo negro que absorve tudo), o resultado é \approx279\\ \mathrm{K}.

Resposta

(a) \nu=5{,}996\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
(b) T_{\odot}=5{,}796\times10^{3}\\ \mathrm{K} (aprox. 5800\\ \mathrm{K})
(c) L\approx3{,}891\times10^{26}\\ \mathrm{W}
(d) P_{\text{inc}}\approx1{,}765\times10^{17}\\ \mathrm{W}
(e) T_{\oplus}\approx2{,}79\times10^{2}\\ \mathrm{K} (aprox. 279\\ \mathrm{K})

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