O sol emite luz com intensidade máxima em comprimento de onda
( 1
) e assumimos que a superfície do sol se comporta como um corpo negro.
(a) Considerando a velocidade da luz como
, determine a frequência da luz solar com intensidade máxima.
(b) Determine a temperatura da superfície do sol.
(c) Considerando o raio do sol como
, determine a energia total emitida pelo sol por segundo.
(d) A distância entre a Terra e o sol é de
. Assumindo que o sol emite luz igualmente em todas as direções, calcule a energia total por segundo da luz solar que incide sobre a Terra, cujo raio é
.
(e) Assumindo que a Terra é um corpo negro que absorve toda a energia da luz solar, calcule a sua temperatura de superfície.
(a) Considerando a velocidade da luz como
(b) Determine a temperatura da superfície do sol.
(c) Considerando o raio do sol como
(d) A distância entre a Terra e o sol é de
(e) Assumindo que a Terra é um corpo negro que absorve toda a energia da luz solar, calcule a sua temperatura de superfície.
Passo 1
O enunciado faz as seguintes perguntas e fornece estes dados:
- (a) Determinar a frequência da luz solar com intensidade máxima.
- (b) Determinar a temperatura da superfície do Sol.
- (c) Determinar a energia total emitida pelo Sol por segundo (luminosidade).
- (d) Calcular a energia total por segundo da luz solar que incide sobre a Terra.
- (e) Assumindo que a Terra é um corpo negro que absorve toda a energia solar, calcular a temperatura de superfície da Terra.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como foram dados):
- comprimento de onda de máxima intensidade:
- velocidade da luz:
- raio do Sol:
- distância Terra–Sol:
- raio da Terra:
Vou usar constantes conhecidas quando necessárias:
- constante de Wien (deslocamento):
- constante de Stefan–Boltzmann:
Passo 2
(a) Frequência correspondente ao comprimento de onda de máxima intensidade.
Teoria rápida e fórmula utilizada: a velocidade da luz
, a frequência
e o comprimento de onda
estão ligados pela relação
Isso vem da definição de frequência e de onda: a distância que a onda percorre em um período é o comprimento de onda; dividir velocidade por comprimento de onda dá quantos ciclos ocorrem por segundo (frequência). Solucionando para
:
Substituindo os valores (usar
):
Calculo passo a passo:
Passo 3
(b) Temperatura da superfície do Sol via lei de Wien.
Teoria rápida e fórmula: a lei do deslocamento de Wien dá a relação entre o comprimento de onda onde a emissão de um corpo negro é máxima e sua temperatura:
onde
é a constante de Wien (
). Isolando
:
Substituindo
:
Calculo passo a passo:
Arredondando de forma prática para uso em contas seguintes:
(aprox.
).
Passo 4
(c) Energia total emitida pelo Sol por segundo (luminosidade) usando a lei de Stefan–Boltzmann.
Teoria e fórmulas: a potência irradiada por unidade de área de um corpo negro é dada por
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann e
a temperatura (em K). Para uma esfera (Superfície do Sol) com área
, a potência total é
Vamos calcular cada termo:
- Área da superfície solar:
-
com :
- Agora
:
Conclusão: luminosidade estimada do Sol
(valor muito próximo ao valor aceito
; pequenas diferenças vêm de arredondamentos e do uso aproximado de
).
Passo 5
(d) Energia por segundo da luz solar que incide sobre a Terra.
Teoria e fórmulas: assumindo emissão isotrópica, a potência
se distribui uniformemente numa esfera de raio
(distância Terra–Sol). O fluxo (potência por área) na órbita da Terra é
A Terra intercepta essa energia com sua área de projeção (círculo)
. Logo a potência recebida pela Terra é
Substituindo valores (usar
do passo anterior):
Portanto, a potência solar que incide sobre a Terra é aproximadamente
(arredondando).
Passo 6
(e) Temperatura de equilíbrio da Terra assumindo corpo negro que absorve toda a energia.
Teoria e fórmula: se a Terra absorve toda a potência incidente
e reemite como corpo negro em toda a sua superfície (área
), no equilíbrio térmico vale
Substituindo
e cancelando
, obtemos
Agora substituindo os valores:
Calculo intermediário:
Quarta raiz passo a passo (uma forma prática): tomar log10 e dividir por 4 ou usar aproximação numérica:
Interpretação rápida:
é cerca de
. Observação: esse valor considera que a Terra absorve 100% da energia (albedo zero) e que emite uniformemente; na realidade a albedo e propriedades atmosféricas mudam o valor (temperatura efetiva real sem gás-estufa e com albedo típica resulta em cerca de
). Mas aqui, seguindo o enunciado (corpo negro que absorve tudo), o resultado é
.
Resposta
(a)
(b) (aprox.
)
(c)
(d)
(e) (aprox.
)
(b)
(c)
(d)
(e)