Uma lâmpada para aquecimento por radiação tem uma temperatura superficial de 835^{\circ} \mathrm{C} e sua superfície tem emissividade de 0.66 . Qual deve ser a área \left(e m \mathrm{~cm}^{2}\right) da superfície da lâmpada para ela emitir calor a uma taxa de 610 W .
Assuma que a emissão de calor por convecção é desprezível.

Passo 1

O enunciado nos dá uma lâmpada cuja superfície emite calor apenas por radiação (convecção desprezível), com temperatura superficial de 835{}^\circ\mathrm{C}, emissividade \varepsilon=0,66 e potência de saída Q=610\\ \mathrm{W}. Para achar a área precisamos usar a lei de Stefan–Boltzmann para corpo cinza:
Q \;=\; \varepsilon\,\sigma\,A\,\bigl(T_s^4 - T_{\rm amb}^4\bigr),
onde \sigma=5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2/K^4}.

Passo 2

Primeiro convertemos a temperatura da lâmpada e do ambiente para kelvin.
T_s = 835 + 273 = 1108\\ \mathrm{K},\qquad T_{\rm amb}\approx 20 + 273 = 293\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Isolamos a área A na fórmula da radiação:
A = \frac{Q}{\varepsilon\,\sigma\,\bigl(T_s^4 - T_{\rm amb}^4\bigr)}.

Passo 4

Calculamos as potências quarta das temperaturas:
T_s^4 = (1108)^4 \approx 1{,}507\times10^{12}\\ \mathrm{K^4},\qquad T_{\rm amb}^4 = (293)^4 \approx 7{,}37\times10^{9}\\ \mathrm{K^4},
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T_s^4 - T_{\rm amb}^4 \approx 1{,}507\times10^{12} - 7{,}37\times10^{9} \approx 1{,}499\times10^{12}\\ \mathrm{K^4}.

Passo 5

Agora computamos o denominador:
\varepsilon\,\sigma = 0,66\times 5,67\times10^{-8} = 3,7422\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2/K^4},
\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_{\rm amb}^4) =3,7422\times10^{-8}\times1{,}499\times10^{12} \approx 5,6125\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2}.
Então
A = \frac{610}{5,6125\times10^{4}}\approx 1,086\times10^{-2}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Para expressar em \mathrm{cm^2} lembramos que 1\\ \mathrm{m^2}=10^{4}\\ \mathrm{cm^2}:
A = 1,086\times10^{-2}\times10^{4} \approx 108,6\\ \mathrm{cm^2}.

Resposta

A área da superfície deve ser de aproximadamente 109\\ \mathrm{cm^2}.

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