Uma lâmpada emitindo luz visível de comprimento de onda \lambda_{1}=420 \mathrm{~nm}, dissipa potência P_{1} de 500 W quando ligada em 110 V . Uma segunda lâmpada, emitindo luz com comprimento de onda \lambda_{2}=700 \mathrm{~nm} é ligada em 110 V da rede através de um resistor variável com o objetivo de variar a potência P_{2} da mesma. a) Para que ambas as lâmpadas emitam fótons a mesma taxa, qual deve ser a potência que deve ser ajustada para a lâmpada de 700 nm ? b) Considere agora que ambas as lâmpadas operam com a mesma potência de 500 W e que tenham a mesma vida útil de 700 horas. Durante esse intervalo de tempo, qual lâmpada emitirá fótons à maior taxa? c) Se a potência da lâmpada de \lambda_{2}=700 \mathrm{~nm} for de 500 W , qual é o número de fótons que emitirá durante os 3000 segundos de sua vida útil?

Passo 1

O enunciado trata de duas lâmpadas que emitem fótons de comprimentos de onda \lambda_{1}=420\,\mathrm{nm} e \lambda_{2}=700\,\mathrm{nm}. Cada fóton tem energia dada por
E = \frac{hc}{\lambda},
onde h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} e c=3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}. A taxa de emissão de fótons é
\frac{P}{E} = \frac{P\,\lambda}{hc}.
Vamos usar isso para:
– (a) igualar as taxas de emissão;
– (b) comparar taxas quando ambas estão em 500\,\mathrm{W};
– (c) calcular o número total de fótons emitidos em 3000\,\mathrm{s}.

Passo 2

Para obter a mesma taxa de emissão de fótons, precisamos de
\frac{P_{1}}{E_{1}} = \frac{P_{2}}{E_{2}},
ou seja, como E_{i}=hc/\lambda_{i}, temos
\frac{P_{1}}{hc/\lambda_{1}} = \frac{P_{2}}{hc/\lambda_{2}} \quad\Longrightarrow\quad P_{2} = P_{1}\,\frac{E_{2}}{E_{1}} = P_{1}\,\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}.
Substituindo P_{1}=500\,\mathrm{W}, \lambda_{1}=420\,\mathrm{nm} e \lambda_{2}=700\,\mathrm{nm},
P_{2} = 500\,\mathrm{W}\times\frac{420}{700} = 300\,\mathrm{W}.

Passo 3

Se ambas as lâmpadas operam com P=500\,\mathrm{W}, a taxa de fótons é
\frac{P}{E} = \frac{P\,\lambda}{hc}.
Como \lambda_{2}=700\,\mathrm{nm} > \lambda_{1}=420\,\mathrm{nm}, segue que
\frac{P\,\lambda_{2}}{hc} > \frac{P\,\lambda_{1}}{hc},
logo a lâmpada de \lambda_{2}=700\,\mathrm{nm} emite mais fótons por segundo.

Passo 4

Com P_{2}=500\,\mathrm{W} e tempo de vida t=3000\,\mathrm{s}, o número total de fótons é
N = \frac{P_{2}\,t}{E_{2}} = \frac{P_{2}\,t\,\lambda_{2}}{hc}.
Substituindo valores ( \lambda_{2}=700\times10^{-9}\,\mathrm{m}),
N = \frac{500\times3000\times700\times10^{-9}}{6{,}626\times10^{-34}\times3{,}0\times10^{8}} \approx 5{,}3\times10^{24}\,\text{fótons}.ó

Resposta

(a) P_{2}=300\,\mathrm{W}.
(b) A lâmpada de \lambda_{2}=700\,\mathrm{nm} emite fótons à maior taxa.
(c) N\approx5{,}3\times10^{24} fótons.

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