Uma lâmpada incandescente de 100 W possui um filamento cilíndrico de tungstênio com
de comprimento,
de diâmetro e emissividade de 0,26 . (a) Qual é a temperatura do filamento? (b) Para que comprimento de onda a emissão espectral da lâmpada é máxima? © Faça uma estimativa da fração da energia fornecida que é transformada em luz visível.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre uma lâmpada incandescente de 100 W com um filamento de tungstênio que tem 30 cm de comprimento, 0,40 mm de diâmetro e uma emissividade de 0,26. A matéria que vamos precisar envolve conceitos de radiação térmica, Lei de Stefan-Boltzmann e o pico da emissão espectral segundo a Lei de Wien. Vamos resolver as três partes do exercício passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Qual é a temperatura do filamento?
Primeiro, precisamos encontrar a temperatura do filamento. Sabemos que a potência irradiada por um corpo negro (ou próximo disso) é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde:
- $ P $ é a potência (100 W)
- $ \epsilon $ é a emissividade (0,26)
- $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann (
) - $ A $ é a área da superfície do filamento
- $ T $ é a temperatura em Kelvin
Primeiro, vamos calcular a área $ A $ do filamento, que é um cilindro:
Onde:
- $ r $ é o raio
- $ L $ é o comprimento (30 cm = 0,3 m)
O diâmetro é 0,40 mm, então o raio $ r $ é 0,20 mm = 0,0002 m.
Calculando a área:
Agora, rearranjando a fórmula de Stefan-Boltzmann para encontrar $ T $:
Substituindo os valores:
Calculando dentro da raiz:
Finalmente:
Passo 3
Parte (b): Para que comprimento de onda a emissão espectral da lâmpada é máxima?
Para encontrar o comprimento de onda em que a emissão é máxima, usamos a Lei de Wien:
Onde:
- $ b $ é a constante de Wien (
) - $ T $ é a temperatura que encontramos na parte (a) (~2280 K)
Substituindo os valores:
Passo 4
Parte ©: Faça uma estimativa da fração da energia fornecida que é transformada em luz visível.
A luz visível tem comprimento de onda aproximadamente entre 400 nm e 700 nm. Já vimos que o pico de emissão está em 1270 nm, que está no infravermelho. A distribuição de energia segue a Lei de Planck, mas para simplificação, vamos usar a aproximação que a maior parte da energia está além da faixa visível.
Então, para estimar a fração, podemos considerar que apenas uma pequena parte da energia emitida está dentro de 400-700 nm. Vamos supor, de forma simplificada, que aproximadamente 5% da energia irradiada está na faixa visível.
Resposta
A temperatura do filamento é aproximadamente
, o comprimento de onda de emissão máxima é cerca de
e aproximadamente 5% da energia fornecida é transformada em luz visível.