Uma lâmpada incandescente, de 100 W , possui um filamento de tungstênio de diâmetro igual a 0.42 mm e de comprimento 33 cm . Em condições de operação, a emissividade efetiva vale 0,22 . Determine a temperatura de operação do filamento.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de operação do filamento de tungstênio, sabendo que nele chega potência elétrica de 100\\ \text{W}, o diâmetro é d=0,42\\ \text{mm}, o comprimento é L=33\\ \text{cm} e a emissividade efetiva é \varepsilon=0,22. Vamos usar o balanço de energia em regime permanente, assumindo que toda a potência elétrica é radiada pela superfície do filamento. O modelo é o da lei de Stefan–Boltzmann com temperatura ambiente desprezível, isto é,
P = \varepsilon\,\sigma\,A\,T^4,
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \text{W/m}^2\text{K}^4.

Passo 2

Calculamos a área lateral do filamento cilíndrico:
A = \pi\,d\,L.
Convertendo unidades, d=0,42\\ \text{mm}=4{,}2\times10^{-4}\\ \text{m} e L=0,33\\ \text{m}. Logo,
A = \pi \times (4{,}2\times10^{-4}) \times 0,33 = \pi \times 1{,}386\times10^{-4} \approx 4{,}35\times10^{-4}\\ \text{m}^2.

Passo 3

Substituindo em
P = \varepsilon\,\sigma\,A\,T^4
e isolando T, vem
T^4 = \frac{P}{\varepsilon\,\sigma\,A} \quad\Longrightarrow\quad T = \left(\frac{P}{\varepsilon\,\sigma\,A}\right)^{1/4}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
\frac{P}{\varepsilon\,\sigma\,A} = \frac{100}{0{,}22 \times 5{,}67\times10^{-8} \times 4{,}35\times10^{-4}} \approx 1{,}84\times10^{13},
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T = \bigl(1{,}84\times10^{13}\bigr)^{1/4} \approx 2{,}07\times10^3\\ \text{K}.

Resposta

A temperatura de operação do filamento é aproximadamente 2{,}07\times10^3\\ \text{K}.

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