Um termógrafo é um instrumento médico usado para medir a radiação da pele humana. Por exemplo, a pele normal irradia na temperatura de 34^{\circ} \mathrm{C} e a pele sobre um tumor irradia numa temperatura ligeiramente mais elevada. (a) Deduza uma expressão aproximada que dê a diferença fracional \Delta I / I da intensidade radiante entre áreas adjacentes da pele que estejam a temperaturas ligeiramente diferentes T \mathrm{e} T+\Delta T. (b) Calcule o valor desta expressão para uma diferença de temperatura de 1,3^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que a pele irradie com uma emissividade constante.

Passo 1

O enunciado pede a diferença fracional \Delta I/I entre a radiação da pele a duas temperaturas próximas, T e T+\Delta T. Vamos usar a lei de Stefan–Boltzmann, que diz que a intensidade radiada por um corpo negro é proporcional a T^4. Como a pele irradia com emissividade constante, podemos escrever
I(T)=\varepsilon\,\sigma\,T^4
e logo podemos comparar I(T+\Delta T) com I(T).

Passo 2

Calculemos I(T+\Delta T) por expansão em série de Taylor até a primeira ordem em \Delta T.
I(T+\Delta T) =\varepsilon\,\sigma\,(T+\Delta T)^4 =\varepsilon\,\sigma\bigl(T^4+4T^3\Delta T+\cdots\bigr) \approx \varepsilon\,\sigma\,T^4+4\,\varepsilon\,\sigma\,T^3\,\Delta T.
Dessa forma, a variação da intensidade é
\Delta I =I(T+\Delta T)-I(T) \approx 4\,\varepsilon\,\sigma\,T^3\,\Delta T.

Passo 3

Agora a diferença fracional é
\frac{\Delta I}{I} \approx \frac{4\,\varepsilon\,\sigma\,T^3\,\Delta T}{\varepsilon\,\sigma\,T^4} =4\,\frac{\Delta T}{T}.
Essa é a expressão aproximada procurada.

Passo 4

Para \Delta T=1,3^\circ\mathrm{C} e T=34^\circ\mathrm{C}=34+273=307\\ \mathrm{K}, temos
\frac{\Delta I}{I} \approx 4\,\frac{1{,}3}{307} \approx 0{,}0169 \approx 1{,}7\%.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\Delta I}{I}\approx4\,\frac{\Delta T}{T}.
(b) \displaystyle \frac{\Delta I}{I}\approx1{,}7\%.

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