Um radiador de cavidade apresenta sua radiância espectral máxima para o comprimento de onda de 25.0 \mu \mathrm{~m}, na região infravermelha do espectro. A temperatura do corpo é, em seguida, aumentada de modo que a intensidade radiante I(T) do corpo duplique. (a) Qual é o valor desta nova temperatura? (b) Em que comprimento de onda, a radiância espectral apresentará agora seu valor máximo?

Passo 1

O enunciado descreve um radiador de cavidade (corpo negro) cuja radiância espectral máxima ocorre em \lambda_1 = 25{,}0\,\mu\mathrm{m}. Em seguida, a intensidade radiada total I dobra. Para resolver, vamos usar duas leis fundamentais:
  1. Lei de Wien para o pico de emissão
\lambda_{\max} \,T = b,
onde b = 2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}.
2. Lei de Stefan–Boltzmann para intensidade total
I = \sigma\,T^4,
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann.

Passo 2

Primeiro calculamos a temperatura inicial T_1 a partir de lei de Wien:
T_1 = \frac{b}{\lambda_1} = \frac{2{,}898\times10^{-3}}{25{,}0\times10^{-6}} \approx 115{,}9\,\mathrm{K}.

Passo 3

Como I\propto T^4, duplicar a intensidade faz
\frac{I_2}{I_1} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{T_2}{T_1}\Bigr)^4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = T_1\,2^{1/4}.
Numericamente,
T_2 \approx 115{,}9\times2^{0.25} \approx 115{,}9\times1{,}1892 \approx 137{,}8\,\mathrm{K}.

Passo 4

Agora usamos novamente lei de Wien para achar o novo pico \lambda_2:
\lambda_2 = \frac{b}{T_2} = \frac{2{,}898\times10^{-3}}{137{,}8} \approx 2,102\times10^{-5}\,\mathrm{m} = 21{,}0\,\mu\mathrm{m}.

Resposta

(a) T_2 \approx 138\,\mathrm{K}.
(b) \lambda_2 \approx 21{,}0\,\mu\mathrm{m}.

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