Uma lâmpada incandescente opera na temperatura de 4,0 \times 10^{3} \mathrm{~K} e seu filamento possui uma área de 10 \mathrm{~mm}^{2}. Qual é a potência total irradiada sobre todos os comprimentos de onda por esse filamento? Considere a lâmpada como um corpo negro.

Passo 1

O enunciado diz que o filamento da lâmpada pode ser tratado como um corpo negro à temperatura de 4,0\times10^{3}\,\mathrm{K} e área de 10\,\mathrm{mm}^2. O que precisamos é a potência total irradiada em todos os comprimentos de onda. Para isso vamos usar a Lei de Stefan–Boltzmann, que diz que
P = \sigma\,A\,T^4
onde P é a potência irradiada, \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, A a área emissora e T a temperatura absoluta.

Passo 2

Primeiro convertemos a área de milímetros quadrados para metros quadrados. Temos
A = 10\,\mathrm{mm}^2 = 10\times(10^{-3}\,\mathrm{m})^2 = 10\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2 = 1{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{m}^2.

Passo 3

A constante de Stefan–Boltzmann vale
\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

Passo 4

Calculamos T^4. Como T = 4{,}0\times10^{3}\,\mathrm{K},
T^4 = \bigl(4{,}0\times10^{3}\bigr)^4 = 4^4\times(10^{3})^4 = 256\times10^{12} = 2{,}56\times10^{14}\,\mathrm{K^4}.

Passo 5

Agora substituímos em P = \sigma\,A\,T^4:
P = \bigl(5{,}67\times10^{-8}\bigr)\times\bigl(1{,}0\times10^{-5}\bigr)\times\bigl(2{,}56\times10^{14}\bigr).
Multiplicando os fatores:
5{,}67\times2{,}56 = 14{,}5152,\quad 10^{-8}\times10^{-5}\times10^{14}=10^{1},
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P = 14{,}5152\times10^{1}\,\mathrm{W} \approx 1{,}45\times10^{2}\,\mathrm{W}.

Resposta

A potência total irradiada pelo filamento é aproximadamente 1{,}5\times10^{2}\,\mathrm{W}.

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