Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, responda:
(a) Qual a velocidade de crescimento da sombra?
(b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • A lâmpada está a \,4{,}5\\ \mathrm{m}\, do piso (altura da lâmpada).
  • A altura do homem é \,1{,}80\\ \mathrm{m}\,.
  • O homem caminha afastando-se da base da lâmpada com velocidade \,1{,}5\\ \mathrm{m/s}\,.
Perguntas:
(a) Qual a velocidade de crescimento da sombra do homem?
(b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?

Passo 2

Definir variáveis e entender a geometria (como fazer na prova):
  • Seja \,x(t)\, a distância horizontal da base da lâmpada até os pés do homem (função do tempo).
  • Seja \,s(t)\, o comprimento da sombra do homem sobre o piso (distância dos pés até a ponta da sombra).
  • Então a posição horizontal da ponta da sombra é \,x(t)+s(t)\,.
Relação geométrica (sem resolver ainda): as duas figuras formadas pela lâmpada, pelo homem e pela ponta da sombra são triângulos semelhantes. Vou usar isso no próximo passo.

Passo 3

Montar a equação usando triângulos semelhantes e explicar a ideia:
  • Triângulo grande: vértice na lâmpada, base no chão até a ponta da sombra; altura = L (altura da lâmpada) e base = x+s.
  • Triângulo pequeno (sobreposto): vértice na cabeça do homem, base no chão até a ponta da sombra; altura = h (altura do homem) e base = s.
Triângulos semelhantes significam que razões entre alturas e bases correspondentes são iguais. Portanto:
\frac{L}{x+s}=\frac{h}{s}.
Explicando: a razão altura/base do triângulo grande é igual à razão altura/base do triângulo pequeno porque os ângulos são iguais.

Passo 4

Isolar s em função de x (passo algébrico detalhado):
Partindo de
\frac{L}{x+s}=\frac{h}{s},
multiplico ambos os lados por s(x+s) para eliminar denominadores:
L s = h(x+s).
Desenvolvendo o lado direito:
L s = h x + h s.
Passo os termos em s para o mesmo lado:
L s - h s = h x.
Coloco s em evidência:
s (L - h) = h x.
Finalmente:
s = \frac{h}{L-h}\,x.
Agora substituo os valores numéricos (mostrando como simplificar na prova):
L = 4{,}5,\qquad h = 1{,}80.
Calculo L-h:
L-h = 4{,}5 - 1{,}80 = 2{,}70.
Então o fator é
\frac{h}{L-h}=\frac{1{,}80}{2{,}70}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}.
Portanto
s=\frac{2}{3}x.

Passo 5

Derivar em relação ao tempo para obter as velocidades (regra da cadeia):
Diferencio s=\dfrac{2}{3}x em relação a t:
\frac{ds}{dt}=\frac{2}{3}\,\frac{dx}{dt}.
Sabendo que \dfrac{dx}{dt}=1{,}5\\ \mathrm{m/s} (o homem afasta-se a essa velocidade), obtenho
\frac{ds}{dt}=\frac{2}{3}\cdot 1{,}5.
Faço a conta passo a passo (como na prova sem calculadora):
1{,}5=\frac{3}{2},\quad \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1.
Logo
\frac{ds}{dt}=1{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Isto responde a (a): a sombra cresce a \,1{,}0\\ \mathrm{m/s}\,.

Passo 6

Velocidade da ponta da sombra:
A ponta da sombra tem posição x+s. A velocidade da ponta é
\frac{d}{dt}(x+s)=\frac{dx}{dt}+\frac{ds}{dt}.
Substituindo os valores conhecidos:
\frac{dx}{dt}=1{,}5\\ \mathrm{m/s},\qquad \frac{ds}{dt}=1{,}0\\ \mathrm{m/s},
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\frac{d}{dt}(x+s)=1{,}5+1{,}0=2{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo (curto):
  • Resumo: a sombra cresce em \,1{,}0\\ \mathrm{m/s} e a ponta da sombra corre a \,2{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Você já dominou a técnica chave: montar a relação por triângulos semelhantes e diferenciar; é exatamente o que costumam cobrar em prova. Vai dar certo — respira e repassa estes passos mais uma vez.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{ds}{dt}=1{,}0\\ \mathrm{m/s}
(b) \displaystyle \frac{d}{dt}(x+s)=2{,}5\\ \mathrm{m/s}

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