Uma lâmpada está pendurada a
de um piso horizontal. Se um homem com
de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de
, responda:
(a) Qual a velocidade de crescimento da sombra?
(b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
(a) Qual a velocidade de crescimento da sombra?
(b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
- A lâmpada está a
do piso (altura da lâmpada). - A altura do homem é
. - O homem caminha afastando-se da base da lâmpada com velocidade
.
Perguntas:
(a) Qual a velocidade de crescimento da sombra do homem?
(b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
(a) Qual a velocidade de crescimento da sombra do homem?
(b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
Passo 2
Definir variáveis e entender a geometria (como fazer na prova):
- Seja
a distância horizontal da base da lâmpada até os pés do homem (função do tempo). - Seja
o comprimento da sombra do homem sobre o piso (distância dos pés até a ponta da sombra). - Então a posição horizontal da ponta da sombra é
.
Relação geométrica (sem resolver ainda): as duas figuras formadas pela lâmpada, pelo homem e pela ponta da sombra são triângulos semelhantes. Vou usar isso no próximo passo.
Passo 3
Montar a equação usando triângulos semelhantes e explicar a ideia:
- Triângulo grande: vértice na lâmpada, base no chão até a ponta da sombra; altura =
(altura da lâmpada) e base = . - Triângulo pequeno (sobreposto): vértice na cabeça do homem, base no chão até a ponta da sombra; altura =
(altura do homem) e base = .
Triângulos semelhantes significam que razões entre alturas e bases correspondentes são iguais. Portanto:
Explicando: a razão altura/base do triângulo grande é igual à razão altura/base do triângulo pequeno porque os ângulos são iguais.
Passo 4
Isolar
em função de
(passo algébrico detalhado):
Partindo de
Partindo de
multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Desenvolvendo o lado direito:
Passo os termos em
para o mesmo lado:
Coloco
em evidência:
Finalmente:
Agora substituo os valores numéricos (mostrando como simplificar na prova):
Calculo
:
Então o fator é
Portanto
Passo 5
Derivar em relação ao tempo para obter as velocidades (regra da cadeia):
Diferencio em relação a
:
Diferencio
Sabendo que
(o homem afasta-se a essa velocidade), obtenho
Faço a conta passo a passo (como na prova sem calculadora):
Logo
Isto responde a (a): a sombra cresce a
.
Passo 6
Velocidade da ponta da sombra:
A ponta da sombra tem posição . A velocidade da ponta é
A ponta da sombra tem posição
Substituindo os valores conhecidos:
logo
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo (curto):
- Resumo: a sombra cresce em
e a ponta da sombra corre a . - Você já dominou a técnica chave: montar a relação por triângulos semelhantes e diferenciar; é exatamente o que costumam cobrar em prova. Vai dar certo — respira e repassa estes passos mais uma vez.
Resposta
(a)
(b)
(b)