Se 5 % das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) nenhuma defeituosa;
b) 3 defeituosas;
c) mais do que uma boa.

Passo 1

O enunciado diz que 5 % das lâmpadas são defeituosas e selecionamos n=100 lâmpadas ao acaso. Vamos definir X como o número de lâmpadas defeituosas na amostra. Como cada lâmpada tem probabilidade p=0,05 de ser defeituosa e as escolhas são independentes, temos XsimBin(n=100,p=0,05). Precisamos calcular
a) P(X=0)
b) P(X=3)
c) P(mais de uma boa).

Passo 2

Pela fórmula da distribuição binomial, para k=0,1,dots,100 vale
P(X=k)=binom100k,(0,05)^k,(0,95)^100-k

Passo 3

Aplicando a fórmula:
a) Para k=0,
P(X=0)=binom1000,(0,05)^0,(0,95)^100=(0,95)^100
b) Para k=3,
P(X=3)=binom1003,(0,05)^3,(0,95)^97

Passo 4

Para “mais de uma boa” note que o número de boas é Y=100-X. Queremos P(Y>1)=1-P(Y<=1). Como
P(Y<=1)=P(Y=0)+P(Y=1)=P(X=100)+P(X=99),
temos
P(mais de uma boa) =1-l[P(X=100)+P(X=99)r] =1-l[(0,05)^100 + 100,(0,05)^99,(0,95)r]

Resposta

a) P(X=0)=(0,95)^100
b) P(X=3)=binom1003,(0,05)^3,(0,95)^97
c) P(mais de uma boa) =1-l[(0,05)^100+100,(0,05)^99,(0,95)r]

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