Em uma população: 80 % das pessoas são Rh+ e 3 % são do grupo sanguíneo AB . Lembrem-se que o tipo sanguíneo independe do fator Rh. Entre uma amostra de 10 pessoas dessa população:
b) Qual a probabilidade de no máximo três possuírem tipo sanguíneo AB ? (0,9972)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade em uma população onde 80% das pessoas são Rh+ e 3% têm sangue tipo AB. A gente quer saber, numa amostra de 10 pessoas, qual a chance de no máximo três terem tipo sanguíneo AB. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como estamos analisando a probabilidade de um certo número de pessoas terem sangue tipo AB em uma amostra, a distribuição binomial é perfeita para isso. A distribuição binomial é usada quando temos uma série de experimentos independentes (neste caso, escolher pessoas) e cada experimento tem dois resultados possíveis: ter ou não ter sangue tipo AB.

Passo 3

Aqui, cada pessoa tem uma chance de 3% de ser do tipo AB, e queremos saber a probabilidade de que, em 10 pessoas, no máximo 3 sejam AB. Matemáticamente, isso é representado como P(X ≤ 3), onde X segue uma distribuição binomial com n = 10 e p = 0.03.

Passo 4

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso (neste caso, 0.03).
- $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 5

Precisamos calcular P(X ≤ 3), o que significa somar as probabilidades de ter 0, 1, 2 ou 3 pessoas com sangue tipo AB:
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

Passo 6

Vamos calcular cada termo usando a fórmula da binomial:
  1. Para k = 0:
P(X=0) = binom100 (0.03)^0 (0.97)^10 = 1 times 1 times 0.7374 approx 0.7374
  1. Para k = 1:
P(X=1) = binom101 (0.03)^1 (0.97)^9 = 10 times 0.03 times 0.7522 approx 0.2257
  1. Para k = 2:
P(X=2) = binom102 (0.03)^2 (0.97)^8 = 45 times 0.0009 times 0.7760 approx 0.0315
  1. Para k = 3:
P(X=3) = binom103 (0.03)^3 (0.97)^7 = 120 times 0.000027 times 0.8007 approx 0.0026

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(X <= 3) approx 0.7374 + 0.2257 + 0.0315 + 0.0026 = 0.9972

Resposta

A probabilidade de no máximo três pessoas na amostra de 10 terem tipo sanguíneo AB é de aproximadamente 0,9972.

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