Lançamento Oblíquo ( \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
Um objeto é lançado a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Velocidade inicial: v_0 = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal: \theta = 30^\circ.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas que vou responder (as que normalmente se pedem para um lançamento oblíquo):
  1. Componentes horizontal e vertical da velocidade inicial: v_{0x} e v_{0y}.
  2. Tempo para atingir a altura máxima t_h.
  3. Altura máxima H.
  4. Tempo total de voo T.
  5. Alcance horizontal R.
  6. Velocidade (módulo) e direção ao atingir o solo (após o voo).

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes. A ideia: a velocidade inicial forma um triângulo com a horizontal; usamos cosseno para a componente horizontal e seno para a componente vertical. Fórmulas:
v_{0x} = v_0 \cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta.
Explicando as variáveis: v_{0x} é a velocidade inicial horizontal (m/s), v_{0y} é a velocidade inicial vertical (m/s), v_0 é o módulo da velocidade inicial (m/s) e \theta é o ângulo com a horizontal (graus).
Calcular com \theta=30^\circ. Sabendo \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}:
v_{0x} = 20\cos 30^\circ = 20\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 17,32\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 20\sin 30^\circ = 20\cdot\dfrac{1}{2} = 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Equações do movimento que vamos usar (movimento com aceleração constante no eixo vertical e sem aceleração no eixo horizontal).
  • Horizontal (sem aceleração):
x(t) = v_{0x}\,t.
  • Vertical (aceleração constante -g):
y(t) = v_{0y}\,t - \dfrac{1}{2}g t^2.
Também a velocidade vertical em função do tempo:
v_y(t) = v_{0y} - g t.
Nas expressões, x(t) e y(t) são as posições horizontal e vertical em função do tempo t, v_y(t) é a componente vertical da velocidade no instante t.

Passo 4

Tempo para atingir a altura máxima t_h. Atinge-se a altura máxima quando a componente vertical da velocidade se anula, ou seja v_y(t_h)=0. Usando v_y(t)=v_{0y}-g t:
0 = v_{0y} - g t_h \quad\Rightarrow\quad t_h = \dfrac{v_{0y}}{g}.
Substituindo v_{0y}=10\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
t_h = \dfrac{10}{10} = 1\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Altura máxima H. Podemos usar a expressão da posição vertical em t_h ou a fórmula com energia cinética vertical:
Forma 1 (substituindo t_h em y(t)):
H = y(t_h) = v_{0y} t_h - \dfrac{1}{2} g t_h^2.
Substituindo v_{0y}=10 e t_h=1:
H = 10\cdot 1 - \dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 1^2 = 10 - 5 = 5\\ \mathrm{m}.
Forma 2 (fórmula direta):
H = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} = \dfrac{10^2}{2\cdot 10} = \dfrac{100}{20} = 5\\ \mathrm{m},
mesmo resultado (é bom conhecer as duas formas; ambas são equivalentes).

Passo 6

Tempo total de voo T. Considerando que o objeto parte do solo ( y(0)=0) e retorna ao solo ( y(T)=0), as raízes da equação y(t)=v_{0y} t - \dfrac{1}{2} g t^2 = 0 são t=0 e
T = \dfrac{2 v_{0y}}{g}.
Substituindo:
T = \dfrac{2\cdot 10}{10} = 2\\ \mathrm{s}.
Interpretação: sobe até t=1\\ \mathrm{s} e desce até t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Alcance horizontal R. O alcance é a posição horizontal em t=T:
R = x(T) = v_{0x}\,T.
Usando v_{0x}=10\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s} e T=2\\ \mathrm{s}:
R = 10\sqrt{3}\cdot 2 = 20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 34,64\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Velocidade ao atingir o solo (módulo e direção). Componentes ao tempo T=2\\ \mathrm{s}:
  • Componente horizontal permanece igual:
v_x(T) = v_{0x} = 10\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 17,32\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente vertical em T:
v_y(T) = v_{0y} - gT = 10 - 10\cdot 2 = -10\\ \mathrm{m/s}.
Sinal negativo indica que aponta para baixo.
Módulo da velocidade:
v(T) = \sqrt{v_x(T)^2 + v_y(T)^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20\\ \mathrm{m/s}.
Direção (ângulo abaixo da horizontal):
\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{|v_y(T)|}{v_x(T)}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{10}{10\sqrt{3}}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ.
Observação simpática: o módulo final 20\\ \mathrm{m/s} é igual ao módulo inicial por simetria (sem resistência do ar) e o ângulo de impacto é simétrico ao ângulo de lançamento (abaixo da horizontal).

Passo 9

Recapitulando as fórmulas-chave e o significado (mini-aula prática):
  • Decomposição: v_{0x}=v_0\cos\theta,\; v_{0y}=v_0\sin\theta.
  • Movimento horizontal: velocidade constante, x(t)=v_{0x}t.
  • Movimento vertical: aceleração constante -g, y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2 e v_y(t)=v_{0y}-gt.
  • Tempo de subida: t_h=v_{0y}/g.
  • Altura máxima: H=v_{0y}^2/(2g).
  • Tempo total: T=2v_{0y}/g (quando parte e retorna ao mesmo nível).
  • Alcance: R=v_{0x}T.
Essas fórmulas são as que você deve decorar e praticar para aplicar rapidamente numa prova — eu sei que parece muita conta, mas com esse roteiro fica tranquilo: decompor primeiro, achar tempos, depois posições.

Resposta

v_{0x}=10\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\\ (\approx 17,32\\ \mathrm{m/s})
v_{0y}=10\\ \mathrm{m/s}
t_h=1\\ \mathrm{s}
H=5\\ \mathrm{m}
T=2\\ \mathrm{s}
R=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\\ (\approx 34,64\\ \mathrm{m})
v_{\text{impact}}=20\\ \mathrm{m/s} (direção 30^\circ abaixo da horizontal)

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