Lançamento Vertical ( \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
Um objeto é lançado verticalmente para cima com 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que eu trabalhe com elas (vou assumir as perguntas mais comuns para esse tipo de exercício):
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial: \,v_0=20\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\, (lançamento vertical para cima).
    • Aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\, (para baixo).
    • Posição inicial: vou considerar \,s(0)=0\\ \mathrm{m}\, (ponto de lançamento).
  • Perguntas que vou responder:
    1. Qual a equação da velocidade v(t) e da posição s(t) durante o movimento?
    2. Qual o tempo para atingir a altura máxima?
    3. Qual a altura máxima alcançada?
    4. Qual o tempo total até retornar ao ponto de lançamento (tempo de queda)?
    5. Qual a velocidade ao atingir o ponto de lançamento novamente?

Passo 2

Apresentar as fórmulas fundamentais (conceito e dedução rápida).
  • Em movimentos com aceleração constante, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
  • Aqui a aceleração é a gravidade para baixo, portanto vou escolher o eixo vertical positivo para cima e escrever:
a(t)=-g.
  • Integrando a(t)=-g para obter v(t):
\frac{dv}{dt}=-g \quad\Rightarrow\quad v(t)=v_0 - g t.
Explicação das variáveis: \,v(t) é a velocidade no instante t, \,v_0 é a velocidade inicial (em t=0), e \,g é o módulo da aceleração da gravidade.
  • Integrando v(t) para obter s(t) (posição):
s(t)=s(0)+\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau = s(0)+\int_{0}^{t}(v_0-g\tau)\,d\tau.
Fazendo a integral:
s(t)=s(0)+v_0 t - \frac{1}{2}g t^2.
Com s(0)=0 obtemos a forma que usaremos.

Passo 3

Escrever explicitamente as equações (substituindo os valores numéricos de v_0 e g).
  • Velocidade:
v(t)=20 - 10\,t\quad(\mathrm{m\,s^{-1}}).
  • Posição:
s(t)=20\,t - 5\,t^2\quad(\mathrm{m}).
Observação: aqui t está em segundos e as fórmulas valem enquanto o movimento considerado for com essa aceleração constante (até o objeto cair de volta ao ponto de lançamento).

Passo 4

Tempo para atingir a altura máxima (quando a velocidade instantânea é zero).
  • Condição para altura máxima: \,v(t_{\text{up}})=0.
  • Usando v(t)=20-10t:
0=20-10\,t_{\text{up}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{up}}=\frac{20}{10}=2\\ \mathrm{s}.
Intuição: leva 2 segundos para a velocidade ser reduzida a zero pela gravidade.

Passo 5

Calcular a altura máxima usando s(t) no instante t_{\text{up}}.
  • Substituindo t_{\text{up}}=2 em s(t)=20t-5t^2:
s(2)=20\cdot 2 - 5\cdot 2^2 = 40 - 20 = 20\\ \mathrm{m}.
Alternativa (fórmula energética/ cinemática): também poderia usar
v^2 = v_0^2 - 2g\Delta s,
com v=0, que dá \Delta s = \dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{20^2}{2\cdot 10}=20\\ \mathrm{m}. Mesma resposta.

Passo 6

Tempo total até retornar ao ponto de lançamento (resolver s(t)=0 para t>0).
  • Igualando s(t)=20t-5t^2 a zero:
20t - 5t^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad t(20-5t)=0.
As soluções são t=0 (partida) e 20-5t=0\Rightarrow t=4\\ \mathrm{s}.
  • Portanto, o tempo total de voo até retornar à posição inicial é 4\\ \mathrm{s}, que é o dobro do tempo de subida (simetria do movimento sob aceleração constante).

Passo 7

Velocidade ao atingir o ponto de lançamento novamente.
  • Usar v(t)=20-10t em t=4:
v(4)=20-10\cdot 4 = 20-40 = -20\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo; a rapidez (módulo) é 20\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 8

Resumo prático para a prova (dicas rápidas):
  • Memorize as equações v(t)=v_0 - g t e s(t)=s_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2 e as condições: para altura máxima use v=0; para tempo total use s= s_0.
  • Verifique sempre unidades e sinal da gravidade (se escolher eixo para cima positivo, use a=-g).
  • Em problemas tipo “lançar para cima e cair no mesmo nível”, o tempo total é o dobro do tempo de subida.

Resposta

v(t)=20-10t\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
s(t)=20t-5t^{2}\\ \mathrm{m}
Tempo até a altura máxima: 2\\ \mathrm{s}
Altura máxima: 20\\ \mathrm{m}
Tempo total de voo até retornar ao ponto de lançamento: 4\\ \mathrm{s}
Velocidade ao retornar ao ponto de lançamento: -20\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

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