Uma lata em forma de cilindro circular reto com tampa é feita para receber 2 (dois) litros de suco de laranja. Considerando que 1 litro desse suco equivale a 1 dm^3, o raio r e a altura h que minimizarão o custo do metal para produzir a lata são, respectivamente:
a) r=10raiz[3]pi cm eh=20raiz[3]pi cm
b) r=5raiz[3]pi cm eh=10raiz[3]pi cm
c) r=8raiz[3]pi cm e h=16raiz[3]pi cm
d) r=4raiz[3]pi cm eh=8raiz[3]pi cm
e) r=2raiz[3]pi cm eh=4raiz[3]pi cm

Passo 1

O enunciado pede as dimensões r e h de uma lata cilíndrica com tampa que comporte 2 litros de suco (isto é, 2000 cm ^3), de modo a minimizar o custo do metal. O conteúdo utilizado é otimização de funções com restrição via derivada, sabendo que o volume é pi r^2h e a área total é S=2pi r^2+2pi rh.

Passo 2

Da equação do volume
pi r^2h = 2000
isola-se h em função de r:
h = 2000pi r^2

Passo 3

Expressa-se a área total S em termos de r. Sabendo que
S = 2pi r^2 + 2pi r h,
substitui-se h:
S(r) = 2pi r^2 + 2pi r cdot 2000pi r^2 = 2pi r^2 + 4000r

Passo 4

Calcula-se S'(r) e iguala-se a zero:
S'(r) = 4pi r - 4000r^2 Longrightarrow 4pi r = 4000r^2 Longrightarrow r^3 = 40004pi = 1000pi
Logo,
r = raiz[3]1000pi = 10raiz[3]pi cm

Passo 5

Encontra-se h via h=2000pi r^2 ou notando que no ponto ótimo h=2r: substituindo r obtém-se
h = 2r = 2 cdot 10raiz[3]pi = 20raiz[3]pi cm

Resposta

a)

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