Uma lata em forma de cilindro circular reto com tampa é feita para receber 2 (dois) litros de suco de laranja. Considerando que 1 litro desse suco equivale a
, o raio
e a altura
que minimizarão o custo do metal para produzir a lata são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede as dimensões
e
de uma lata cilíndrica com tampa que comporte
litros de suco (isto é,
cm
), de modo a minimizar o custo do metal. O conteúdo utilizado é otimização de funções com restrição via derivada, sabendo que o volume é
e a área total é
.
Passo 2
Da equação do volume
isola-se
em função de
:
Passo 3
Expressa-se a área total
em termos de
. Sabendo que
substitui-se
:
Passo 4
Calcula-se
e iguala-se a zero:
Logo,
Passo 5
Encontra-se
via
ou notando que no ponto ótimo
: substituindo
obtém-se
Resposta
a)