Latas de conservas são fabricadas por uma indústria com média de 990 g e desvio padrão de 10
g. Uma lata é rejeitada pelo controle de qualidade dessa indústria se possuir peso menor que 975
g. Se for observada uma sequência casual destas latas, qual a probabilidade de que em 12 dessas latas, duas sejam rejeitadas?
g. Uma lata é rejeitada pelo controle de qualidade dessa indústria se possuir peso menor que 975
g. Se for observada uma sequência casual destas latas, qual a probabilidade de que em 12 dessas latas, duas sejam rejeitadas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade específica:
- Média do peso das latas:
. - Desvio padrão:
. - Uma lata é rejeitada se tiver peso menor que
. - Observa-se uma sequência aleatória de latas e escolhemos
latas. - Pergunta: qual a probabilidade de que, dentre essas
latas, exatamente sejam rejeitadas?
Passo 2
Decidindo o modelo (explicando de forma didática e prática):
- A condição “sequência casual” permite tratar os pesos das latas como observações independentes e identicamente distribuídas.
- Cada lata tem probabilidade fixa
de ser rejeitada (a mesma para todas), onde é a probabilidade de que o peso seja menor que . - Para modelar o peso de uma lata usamos a distribuição normal com os parâmetros fornecidos: média
e desvio padrão . Vou explicar o porquê: a indústria fornece média e desvio padrão e o enunciado sugere variação contínua do peso — é o cenário típico para usar a normal. - Depois de calcular
, o número de latas rejeitadas em observações segue uma distribuição binomial com parâmetros e . A distribuição binomial dá a probabilidade de um número fixo de “sucessos” (aqui: rejeições) em repetições independentes.
Passo 3
Calcular a probabilidade
de uma lata ser rejeitada (passo a passo detalhado):
- Seja
a variável aleatória do peso de uma lata. Temos com e . - Queremos
. - Usamos padronização (transformar em variável normal padrão). Definimos a variável padrão
- Substituindo o valor de corte:
- Assim
- Usando a simetria da normal padrão e valores tabelados (ou calculadora), sabemos que
- O valor tabelado (CDF da normal padrão) é
. Logo
- Interpretação simples: cada lata tem cerca de
de chance de ser rejeitada.
Passo 4
Modelagem binomial e fórmula necessária:
- Seja
o número de latas rejeitadas em observações independentes. Então . - A probabilidade de ocorrer exatamente
rejeições é dada pela função massa de probabilidade da binomial:
onde
é o número de combinações.
- Aqui queremos
. Primeiro calculamos o coeficiente combinatório:
Passo 5
Cálculo numérico detalhado da probabilidade para
:
- Usamos
(valor do Passo 3). - Calcule
:
- Calcule
:
- Calcule
. Uma forma prática sem calculadora é fazer potências por quadratura; aqui dou o valor aproximado:
(Para checar mentalmente:
, então
e
.)
- Agora combine tudo na fórmula da binomial:
- Multiplicando passo a passo:
- Interpretação final: a probabilidade é aproximadamente
, ou seja, cerca de .
Passo 6
Resumo final e dica para prova:
- Resumo do procedimento que você precisa decorar para fazer esse tipo de questão na prova: (1) padronizar para encontrar
quando a variável segue normal; (2) reconhecer que o número de ocorrências em observações independentes é binomial; (3) aplicar a fórmula da binomial com . - Boa notícia: os passos são mecânicos e rápidos com prática — repita este exemplo duas ou três vezes e você vai conseguir fazer durante a prova sem pânico. Força, você consegue!