Latas de conservas são fabricadas por uma indústria com média de 990 g e desvio padrão de 10
g. Uma lata é rejeitada pelo controle de qualidade dessa indústria se possuir peso menor que 975
g. Se for observada uma sequência casual destas latas, qual a probabilidade de que em 12 dessas latas, duas sejam rejeitadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade específica:
  • Média do peso das latas: \mu=990\\ \text{g}.
  • Desvio padrão: \sigma=10\\ \text{g}.
  • Uma lata é rejeitada se tiver peso menor que 975\\ \text{g}.
  • Observa-se uma sequência aleatória de latas e escolhemos 12 latas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, dentre essas 12 latas, exatamente 2 sejam rejeitadas?

Passo 2

Decidindo o modelo (explicando de forma didática e prática):
  • A condição “sequência casual” permite tratar os pesos das latas como observações independentes e identicamente distribuídas.
  • Cada lata tem probabilidade fixa p de ser rejeitada (a mesma para todas), onde p é a probabilidade de que o peso seja menor que 975\\ \text{g}.
  • Para modelar o peso de uma lata usamos a distribuição normal com os parâmetros fornecidos: média \mu e desvio padrão \sigma. Vou explicar o porquê: a indústria fornece média e desvio padrão e o enunciado sugere variação contínua do peso — é o cenário típico para usar a normal.
  • Depois de calcular p, o número de latas rejeitadas em 12 observações segue uma distribuição binomial com parâmetros n=12 e p. A distribuição binomial dá a probabilidade de um número fixo de “sucessos” (aqui: rejeições) em n repetições independentes.

Passo 3

Calcular a probabilidade p de uma lata ser rejeitada (passo a passo detalhado):
  • Seja X a variável aleatória do peso de uma lata. Temos X\sim N(\mu,\sigma) com \mu=990 e \sigma=10.
  • Queremos p = P(X<975).
  • Usamos padronização (transformar em variável normal padrão). Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Substituindo o valor de corte:
Z=\frac{975-990}{10}=\frac{-15}{10}=-1{,}5.
  • Assim
p = P(X<975)=P\!\left(Z<-1{,}5\right).
  • Usando a simetria da normal padrão e valores tabelados (ou calculadora), sabemos que
P\!\left(Z< -1{,}5\right)=1-P\!\left(Z<1{,}5\right).
  • O valor tabelado (CDF da normal padrão) é P\!\left(Z<1{,}5\right)\approx 0{,}93319. Logo
p \approx 1-0{,}93319=0{,}06681.
  • Interpretação simples: cada lata tem cerca de 6{,}681\% de chance de ser rejeitada.

Passo 4

Modelagem binomial e fórmula necessária:
  • Seja Y o número de latas rejeitadas em n=12 observações independentes. Então Y\sim \text{Binomial}(n=12,p).
  • A probabilidade de ocorrer exatamente k rejeições é dada pela função massa de probabilidade da binomial:
P(Y=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de combinações.
  • Aqui queremos k=2. Primeiro calculamos o coeficiente combinatório:
\binom{12}{2}=\frac{12\cdot 11}{2\cdot 1}=66.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado da probabilidade para k=2:
  • Usamos p\approx 0{,}06681 (valor do Passo 3).
  • Calcule p^{2}:
p^{2}\approx (0{,}06681)^{2}\approx 0{,}0044629.
  • Calcule 1-p:
1-p\approx 1-0{,}06681=0{,}93319.
  • Calcule (1-p)^{10}. Uma forma prática sem calculadora é fazer potências por quadratura; aqui dou o valor aproximado:
(1-p)^{10}\approx 0{,}50084.
(Para checar mentalmente: \ln(1-p)\approx -0{,}06927, então 10\ln(1-p)\approx -0{,}6927 e \exp(-0{,}6927)\approx 0{,}5008.)
  • Agora combine tudo na fórmula da binomial:
P(Y=2)=\binom{12}{2}\,p^{2}\,(1-p)^{10}\approx 66\cdot 0{,}0044629\cdot 0{,}50084.
  • Multiplicando passo a passo:
0{,}0044629\cdot 0{,}50084\approx 0{,}00223198,
66\cdot 0{,}00223198\approx 0{,}14731.
  • Interpretação final: a probabilidade é aproximadamente 0{,}1473, ou seja, cerca de 14{,}73\%.

Passo 6

Resumo final e dica para prova:
  • Resumo do procedimento que você precisa decorar para fazer esse tipo de questão na prova: (1) padronizar para encontrar p quando a variável segue normal; (2) reconhecer que o número de ocorrências em n observações independentes é binomial; (3) aplicar a fórmula da binomial com \binom{n}{k}.
  • Boa notícia: os passos são mecânicos e rápidos com prática — repita este exemplo duas ou três vezes e você vai conseguir fazer durante a prova sem pânico. Força, você consegue!

Resposta

0,1473

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