[Lathi, 2007, baseado no ex. 4.3-7] Para um sistema com função de transferência
H(s)=s+6s^2+5 s+6
Determine a resposta para as entradas:
x(t)=10 u(t)

Passo 1

O enunciado pede a resposta ao degrau escada “x(t)=10u(t)” aplicado a um sistema de função de transferência H(s). Vamos usar transformada de Laplace e frações parciais.

Passo 2

A transformada de Laplace da entrada é X(s)= 10s. Assim a saída em domínio de Laplace é Y(s)=H(s)·X(s)= s+6s^2+5s+6· 10s.
Observe que o denominador se fatoriza em s²+5s+6=(s+2)(s+3). Logo
Y(s)=10,(s+6)s,(s+2)(s+3)

Passo 3

Para inverter a transformada, decompomos em frações parciais:
10(s+6)s(s+2)(s+3)=As+Bs+2+Cs+3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por s(s+2)(s+3) e igualando coeficientes ou avaliando em s=0, s=–2 e s=–3, obtemos: A=10, B=–20 e C=10. Aplicamos a transformada inversa termo a termo: 1/s ↔ u(t), 1/(s+2) ↔ e^{–2t}u(t), 1/(s+3) ↔ e^{–3t}u(t). Assim
y(t)=10,u(t)-20,e^-2tu(t)+10,e^-3tu(t)

Resposta

y(t)=l[10-20e^-2t+10e^-3tr]u(t)

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