Seja Z uma variável aleatória com distribuição Normal( 0,1 ). Encontre o valor de z tal que:
P(Z<z)=0.8051

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória com distribuição Normal padrão e pede para encontrar o valor de z tal que a probabilidade acumulada até z seja 0,8051. Informações dadas:
  • Z\sim N(0,1) (média 0, desvio-padrão 1).
  • Precisamos achar z tal que P(Z<z)=0,8051.

Passo 2

Entendendo o que é pedido: a função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi, definida por
\Phi(z)=P(Z<z).
O problema quer o valor z que satisfaz
\Phi(z)=0,8051.
Isto é, estamos procurando a inversa da função \Phi: z=\Phi^{-1}(0,8051). Explico o que isso significa: para cada z a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) dá \Phi(z); aqui queremos o valor de z cuja imagem pela função \Phi é 0,8051.

Passo 3

Como encontrar z na prática (jeito tradicional de prova sem calculadora): use a tabela da distribuição normal padrão (tabela de \Phi). Essas tabelas listam valores de \Phi(z) para vários z positivos; a tabela é organizada por duas partes do z: a parte inteira e a primeira casa decimal (linha) e a segunda casa decimal (coluna). Por exemplo:
  • \Phi(0,84)=0,7995.
  • \Phi(0,85)=0,8023.
  • \Phi(0,86)=0,8051.
Esses números (os valores de \Phi para z=0,84, 0,85, 0,86) são valores padrão que você encontra na tabela da normal. Note que o valor que queremos, 0,8051, aparece exatamente associado a z=0,86.

Passo 4

Interpretação: como a tabela mostra \Phi(0,86)=0,8051, concluímos que o z procurado é 0,86. Se você tiver uma calculadora científica ou software, pode confirmar calculando a função inversa da normal padrão:
z=\Phi^{-1}(0,8051)\approx 0,86.
Ambos os procedimentos (tabela ou função inversa) dão o mesmo resultado.

Passo 5

Resumo prático para a prova: procure em uma tabela da normal padrão o valor 0,8051 na parte de probabilidades e leia o z correspondente; se usar calculadora, aplique a função inversa da normal padrão com probabilidade 0,8051. Em ambos os casos o valor é 0,86. Força aí — você chegou no número sem mistério!

Resposta

0,86

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