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é LD somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto singleton
é linearmente dependente se, e somente se,
. O conteúdo aqui é a definição de dependência linear: um conjunto de vetores é LD quando existe combinação linear não trivial (isto é, pelo menos um coeficiente não nulo) que resulta no vetor zero.
Passo 2
Mostramos primeiro que se
, então
é LD. De fato, tome o escalar
Temos
ou seja, há uma combinação linear não trivial de vetores de
que dá o vetor zero. Logo
é LD.
Passo 3
Agora mostremos que, se
é LD, então
. Por definição de dependência linear, existem escalares
tais que nem todos são zero e
Como aqui só há um vetor, o coeficiente
que aparece nessa combinação deve ser
. Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Resposta
Concluímos que
é linearmente dependente se, e somente se,
.