• u é LD somente se u=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto singleton u é linearmente dependente se, e somente se, u=0. O conteúdo aqui é a definição de dependência linear: um conjunto de vetores é LD quando existe combinação linear não trivial (isto é, pelo menos um coeficiente não nulo) que resulta no vetor zero.

Passo 2

Mostramos primeiro que se u=0, então u é LD. De fato, tome o escalar
c = 1 neq 0
Temos
c,u ;=; 1cdot0 ;=;0,
ou seja, há uma combinação linear não trivial de vetores de u que dá o vetor zero. Logo u é LD.

Passo 3

Agora mostremos que, se u é LD, então u=0. Por definição de dependência linear, existem escalares alpha tais que nem todos são zero e
alpha,u ;=;0
Como aqui só há um vetor, o coeficiente alpha que aparece nessa combinação deve ser alphaneq0. Dividindo ambos os lados por alpha, obtemos
u ;=;1alpha,0 ;=;0

Resposta

Concluímos que u é linearmente dependente se, e somente se, u=0.

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