Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e qualquer que seja o número real lambda, valem as propriedades:
(c) u cdot v=v cdot u

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto escalar é comutativo, ou seja, para quaisquer vetores u e v em R^n, vale
ucdotv = vcdotu
Para isso vamos usar a definição de produto escalar em coordenadas e o fato de que a multiplicação de números reais é comutativa.

Passo 2

Sejam
u=(u1,u2,dots,un), v=(v1,v2,dots,vn)
Pela definição,
ucdotv = sumi=1^n ui,vi

Passo 3

Como em R a multiplicação é comutativa, temos para cada i
ui,vi = vi,ui
Logo, ao somar sobre i,
sumi=1^n ui,vi = sumi=1^n vi,ui

Passo 4

Mas o lado direito é justamente a definição de vcdotu:
sumi=1^n vi,ui = vcdotu
Portanto concluímos que
ucdotv = vcdotu

Resposta

ucdotv = vcdotu

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